- MATH.APP.440
- 1. Kompleksiluvut
- 1.4 Napakoordinaattiesitys ja juuret
Napakoordinaattiesitys ja juuret¶
Koska kompleksitaso voidaan samastaa karteesisen tason \R^2 kanssa, kompleksiluvuille saadaan napakoordinaattiesitys samaan tapaan kuin reaalilukupareillekin. Jos (x, y) \in \R^2 ja r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0, niin on olemassa täyden kierroksen 2\pi monikerran lisäystä vaille yksikäsitteinen kulma \phi, jolle
Kuvan 1.4.1 suorakulmaisesta kolmiosta nähdään, että \phi (tai \phi + k2\pi, missä k \in \Z) on vektorin (x, y) ja x-akselin muodostama suunnattu kulma.
Kuva 1.4.1. Kompleksiluvun z \not= 0 napakoordinaattiesitys muodostetaan kuten tason \R^2 pisteen.
Suoralla analogialla siis päätellään, että jos z = x + \im y \in \C, niin r = |z| ja \phi on ehdot (1) toteuttava luvun z argumentti, joille
Kuten edellä, kulma \phi on vain luvun 2\pi monikerran lisäystä vaille yksikäsitteinen. Kaikkia luvun z argumentteja merkitään yhteisesti \arg(z), eli jos \phi on jokin luvun z argumentti, niin \arg(z) = \phi + k2\pi, missä k \in \Z. Kompleksiluvun argumentti voidaan laskea seuraavasti.
Jos \real(z) = 0 ja \imag(z) = 0, niin \arg(z) = \arg(0) ei ole määritelty.
Jos \real(z) = 0 ja \imag(z) \neq 0, niin
\begin{split}\arg(z) = \begin{cases} \frac{\pi}{2} + k2\pi, & \text{kun } \imag(z) > 0 \\ -\frac{\pi}{2} + k2\pi, & \text{kun } \imag(z) < 0, \end{cases} \qquad k \in \Z.\end{split}Jos \real(z) \neq 0 ja z = x + \im y, niin
\begin{split}\arg(z) = \begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + k2\pi, & \text{kun } x > 0 \\ \pi + \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + k2\pi, & \text{kun } x < 0, \end{cases} \qquad k \in \Z.\end{split}
Esimerkki 1.4.1
Olkoon z_1=1+\im ja z_2=\sqrt{3}+\im. Esitä z_1 ja z_2 napakoordinaattimuodossa.
Nyt |z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ja kuvan 1.4.2 muistikolmioiden perusteella esimerkiksi \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 = \frac{1}{1}. Vastaavasti |z_2| = 2 ja esimerkiksi \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}. Siis
Myös mikä tahansa luvuista \frac{\pi}{4} + k2\pi, k \in \Z, kuten -\frac{7\pi}{4} kävisi luvun z_1 argumentiksi.
Kuva 1.4.2. Muistikolmiot kulmien \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3} ja \frac{\pi}{6} käsittelyyn.
Jokaiselle kompleksiluvulle z voidaan siis määrittää napakoordinaatit r ja \phi, mutta näistä argumentti \phi ei ole yksikäsitteinen. Seuraavan tuloksen todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.
Lause 1.4.2
Kompleksiluvut z_1 ja z_2 toteuttavat ehdon z_1 = z_2, jos ja vain jos
Huomautus 1.4.3
Ilmaus \arg(z_1) = \arg(z_2) sisältää luvun 2\pi monikertojen lisäyksen: \arg(z_1) = \phi_1 + k2\pi ja \arg(z_2) = \phi_2 + l2\pi joillekin reaaliluvuille \phi_1 ja \phi_2, sekä kokonaisluvuille k ja l. Yhtäpitävästi voitaisiin sanoa, että \phi_1 = \phi_2 + m2\pi jollekin kokonaisluvulle m.
Koska kompleksiluvun argumentti on tähän tapaan 2\pi-jaksollinen suure, sen arvo millä tahansa puoliavoimella 2\pi-pituisella välillä on yksikäsitteinen. Sen vuoksi seuraava määritelmä on järkevä.
Määritelmä 1.4.4
Kompleksiluvun z pääargumentti \Arg(z) = \phi, jos \phi = \arg(z) ja -\pi < \phi \leq \pi.
Mikä tahansa kompleksiluvun z argumentti voidaan esittää pääargumentin avulla muodossa \arg(z) = \Arg(z) + k2\pi jollakin kokonaisluvulla k.
Pohdi 1.4.5
Lukujen z_1 = 1 + \im ja z_2 = \sqrt{3} + \im tulon ja osamäärän napakoordinaattiesitykset ovat
Vertaa näitä esimerkin 1.4.1 tuloksiin. Mitä luvun itseisarvolle ja argumentille tapahtuu jako- ja kertolaskuissa?
Pohditaan sitten napakoordinaattiesityksen hyödyllisiä seurauksia. Erityisesti kompleksilukujen kerto- ja jakolaskulle löytyy helpot tulkinnat itseisarvojen ja argumenttien avulla.
Lemma 1.4.6 (Kerto- ja jakolasku napakoordinaattimuodossa)
Olkoot z_1=r_1(\cos(\phi_1)+\im\sin(\phi_1)) ja z_2=r_2(\cos(\phi_2)+\im\sin(\phi_2)). Tällöin
- z_1 z_2=r_1 r_2\left(\cos(\phi_1+\phi_2)+\im\sin(\phi_1+\phi_2)\right),
- \displaystyle\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\phi_1-\phi_2)+\im\sin(\phi_1-\phi_2)\right).
Todistetaan lause hyödyntämällä reaalisen sinin ja kosinin summakaavoja
ja
Huomaa, että tässä sini ja kosini ovat reaalifunktioita, joiden ominaisuudet oletetaan tunnetuiksi.
Suoralla laskulla nähdään, että
Näin ensimmäinen kohta on todistettu. Koska
toinen kohta seuraa ensimmäisestä.
Geometrisesti edellinen lemma sanoo, että kompleksilukujen kertolaskussa niiden itseisarvot kerrotaan keskenään ja argumentit lisätään toisiinsa. Vastaavasti jakolaskussa määritetään itseisarvojen osamäärä ja argumenttien erotus. Tätä voidaan havainnollistaa kuvan 1.4.3 tapaan.
Kuva 1.4.3. Kompleksiluvulla kertominen skaalaa itseisarvoa ja lisää vakion argumenttiin.
Tästä tuloksesta seuraa välittömästi, että kaikille kompleksiluvuille z_1 ja z_2 on voimassa
Kumpikaan näistä ei ole yleisesti voimassa pääargumentille. Vastaesimerkiksi käy z_1 = -1 ja z_2 = 1 + \im. Lisäksi luvun z = r(\cos(\phi) + \im\sin(\phi)) liittoluvun napakoordinaattiesitys on
joten \arg(\overline{z}) = -\arg(z).
Pohdi 1.4.7
Onko \Arg(\overline{z}) = -\Arg(z) kaikille kompleksiluvuille z?
Lemman 1.4.6 kaavoista seuraa induktiolla ja parin erityistapauksen käsittelyllä yksinkertainen laskukaava myös kompleksiluvun potensseille.
Seuraus 1.4.8 (De Moivren kaava)
Olkoon z=r(\cos(\phi)+\sin(\phi)) ja n \in \Z. Tällöin
Esimerkki 1.4.9
Olkoon z_1 = 1 + \im ja z_2 = \sqrt{3} + \im. Lasketaan
Esimerkistä 1.4.1 muistetaan, että
joten De Moivren kaavan avulla saadaan
Lemman 1.4.6 nojalla siis
Esimerkki 1.4.10
Olkoon z=r(\cos(\phi)+\im\sin(\phi)). Tiedon \arg(\overline{z})=-\arg(z) avulla voidaan osoittaa, että
Esimerkki 1.4.11
Napakoordinaattiesityksen ja De Moivren kaavan avulla voidaan laskea kaikki ne luvut w, jotka toteuttavat yhtälön w^5=2\im. Merkitään w=r(\cos(\phi)+\im\sin(\phi)), jolloin De Moivren kaavan nojalla
Merkitsemällä 2\im=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\im\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) ja hyödyntämällä lausetta 1.4.2 päätellään, että w^5 = 2\im täsmälleen silloin, kun
jollakin kokonaisluvulla k. Edelleen siis
jollakin kokonaisluvulla k. Merkitään \phi_k = \frac{\pi}{10} + k\frac{2\pi}{5}. Äkkiseltään voi vaikuttaa siltä, että ratkaisuja on ääretön määrä, mutta todellisuudessa kokonaisluvun k kasvattaminen johtaa toistuviin ratkaisuihin:
joten jokaisella kokonaisluvulla k argumentit \phi_{k + 5} ja \phi_k vastaavat samaa kompleksilukua w. Erilliset ratkaisut vastaavat siis viittä peräkkäistä kokonaisluvun k arvoa, ja ne voidaan valita vapaasti esimerkiksi luvusta 0 alkaen. Yhtälön ratkaisut ovat siis
Näitä lukuja yhdessä kutsutaan luvun 2\im viidensiksi juuriksi.
Esimerkissä 1.4.11 laskettiin yhteensä viisi ratkaisua yhtälölle w^5 = 2\im. Vastaavuus ratkaisujen lukumäärän ja eksponentin välillä ei ole sattumaa, ja yleisesti kompleksilukuyhtälöllä w^n = z on n kappaletta erillisiä ratkaisuja.
Määritelmä 1.4.12
Oletetaan, että z \in \C ja n \in \N. Niitä lukujen w joukkoa, jotka toteuttavat yhtälön w^n = z kutsutaan luvun z n:ksi juuriksi ja merkitään
Huomautus 1.4.13
Reaalilukujen joukossa on mahdollista määritellä luvun n:s juuri luontevalla tavalla yksikäsitteisesti. Kompleksilukujen joukossa tämä ei onnistu (ainakaan yhtä luontevasti), joten reaaliluvun ja kompleksiluvun juurille varataan eri merkinnät. Reaaliluvun a juurta merkitään \sqrt[n]{a} ja kompleksiluvun a juurta a^{1/n}.
Lisäksi merkintä z^{1/n} tarkoittaa määritelmän mukaan luvun z n:sien juurten joukkoa, mutta joissakin tapauksissa sillä tarkoitetaan myös tämän joukon alkioita.
Juurten ratkaiseminen ja niiden lukumäärä voidaan muotoilla yhdessä De Moivren kaavan seurauksena.
Seuraus 1.4.14
Olkoon z=r(\cos(\phi)+\im\sin(\phi)), missä r \geq 0, \phi=\Arg(z) ja n\in\N. Tällöin
Merkitään w=s(\cos(\theta)+\im\sin(\theta)), jolloin De Moivren kaavan nojalla w^n = z täsmälleen silloin, kun
jollakin kokonaisluvulla k. Siis
missä k \in \Z. Merkitsemällä \theta_k = \frac{1}{n}(\phi + k2\pi) nähdään, että
joten
Toisaalta \theta_{k + m} \not= \theta_k aina, kun k \in \Z ja m \in \{0, 1, 2, \ldots, n - 1\}, joten erilliset ratkaisut voidaan esittää muodossa
missä k \in \{0, 1, 2, \ldots, n - 1\}.
Esimerkki 1.4.15
Lasketaan kaikki luvun z=-8-8\sqrt{3}\im neljännet juuret. Piirtämällä z vektorina kompleksitasoon nähdään, että \Arg(z)=-\frac{2\pi}{3} ja että
Täten seurauksen 1.4.14 nojalla
Tämä lauseke voidaan tulkita kahden kompleksiluvun tulona seuraavasti:
missä k \in \{0, 1, 2, 3\}. Siis erilliset juuret perusmuodossa ovat
Juurten piirtäminen kompleksitason pisteiksi kuvan 1.4.4 tapaan paljastaa, kuinka ne todella ovat origokeskisen ympyrän kehällä tasaisin välein.
Kuva 1.4.4. Luvun -8 - 8\sqrt{3}\im neljännet juuret.
Esimerkki 1.4.16
Laske (2\im)^{1/2} ja (-16)^{1/4}.
Koska |2\im| = 2 ja \Arg(2\im) = \frac{\pi}{2},
missä k = 0 tai k = 1. Erilliset juuret ovat siis
Vastaavasti \left|-16\right| = 16 ja \Arg(-16) = \pi, joten
missä k \in \{0, 1, 2, 3\}. Erilliset juuret ovat siis
Jos reaaliluvut voidaan ajatella kompleksilukuina, niin miksi sitten positiivisten reaalilukujen juuri on yksikäsitteinen ja kompleksilukujen ei? Soveltamalla määritelmää 1.4.12 esimerkiksi reaalilukuun 64 nähdään, että
Positiivisen reaaliluvun a tapauksessa joukko a^{1/n} sisältää aina positiivisen reaaliluvun, ja reaalisen juurifunktion määritelläänkin saavan arvokseen aina tämä positiivinen juuri.
Edellä on kyse myös kompleksilukujen juurelle yleistyvästä haaran valinnasta. Juuressa
jokainen kokonaisluvun k arvo määrää juurelle eri arvon, eli juuren haaran. Jokaista lukua k \in \{0, 1, 2, \ldots, n - 1\} vastaamaan voitaisiinkin kirjoittaa yksikäsitteinen juuri
Erityisasema voidaan antaa juurelle z_0^{1/n}, eli tapaukselle k = 0. Tätä kutsutaan juuren päähaaraksi. Koska positiivisen reaaliluvun a itseisarvo |a| = a ja eräs argumentti on 0, niin
eli positiivisen reaaliluvun kompleksisen juuren päähaara vastaa sen reaalista juurta.
- Kompleksiluvut muodostavat kunnan (\C, +, \cdot).
- Imaginaariyksikön neliö \im^2 = -1.
- Liittoluku \overline{z} = \real(z) - \im\imag(y) ja itseisarvo |z| = z\overline{z} = \sqrt{\real(z)^2 + \imag(z)^2}.
- Kompleksiluvut toteuttavat kolmioepäyhtälön ||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 \pm z_2| \leq |z_1| + |z_2|.
- Ehto z(t) = x(t) + \im y(t) parametrisoi kompleksitason tien, jos x ja y ovat jatkuvia reaalifunktioita.
- Jordanin käyrä on sulkeutuva itseään leikkaamaton tie.
- Kompleksiluvun juuret on helpointa määrittää napakoordinaattiesityksen avulla.