$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Reaalifunktioiden kertaus

Tässä liitteessä kerrataan tämän materiaalin kannalta tärkeimpiä yhden ja kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisten funktioiden analyysiin liittyviä perusopintotasoisia käsitteitä ja ominaisuuksia. Väitteiden todistukset sivuutetaan.

Lause 8.1.1 (Differentiaalilaskennan väliarvolause)

Jos funktio $g(t)$ on jatkuva suljetulla välillä $[a, b]$ ja derivoituva avoimella välillä $(a, b)$, on olemassa vakio $c \in (a, b)$, jolle

$$g(b) - g(a) = g'(c)(b - a).$$

Määritelmä 8.1.2

Oletetaan, että $A \subseteq \R^2$, että $L \in \R$ ja että piste $(x_0, y_0)$ on joukon $A$ kasautumispiste. Funktiolla $f : A \to \R$ on raja-arvo $L$ pisteessä $(x_0, y_0)$, jos jokaista $\epsilon > 0$ kohti löytyy sellainen $\delta > 0$, että

$$\text{jos}\qquad (x, y) \in A \text{ ja } 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta, \qquad\text{niin}\qquad |f(x, y) - L| < \epsilon.$$

Tällöin merkitään

$$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)}f(z) = L \qquad\text{tai}\qquad f(x, y) \to L, \text{ kun } z \to z_0.$$

Yhden reaalimuuttujan funktion analyysista tutut toispuoleisten raja-arvojen käsitteet yleistyvät kahden muuttujan funktioille, kun pistettä $(x_0, y_0)$ lähestytään käyrää $(x(t), y(t))$, $t \in [a, b]$ pitkin. Tässä käytännössä funktiossa $f$ muuttujien $x$ ja $y$ paikalle sijoitetaan parametrista $t$ riippuvat lausekkeet ja siirrytään laskemaan raja-arvoa sen suhteen. Koska raja-arvo on yksikäsitteinen (seuraa määritelmästä), funktiolla $f$ on pisteessä $(x_0, y_0)$ raja-arvo $L$, jos ja vain jos

$$\lim_{t \to t_0}f(x(t), y(t)) = L,$$

kun $(x(t), y(t))$ on käyrä jolla $(x(t_0), y(t_0)) = (x_0, y_0)$. Raja-arvo voi siis olla olemassa vain, jos pistettä $(x_0, y_0)$ voidaan lähestyä mistä vain suunnasta ja saada sama tulos.

Esimerkki 8.1.3

Funktiolla $f(x, y) = |x(y - 1)|/(y - 1)$ ei ole raja-arvoa pisteessä $(1, 1)$, sillä käyrällä $(1, t)$

$$\lim_{t \to 1}f(1, t) = \lim_{t \to 1}\frac{|t - 1|}{t - 1} = \lim_{t \to 1}\frac{1 - t}{t - 1} = -1,$$

kun $t < 1$ ja

$$\lim_{t \to 1}f(1, t) = \lim_{t \to 1}\frac{|t - 1|}{t - 1} = \lim_{t \to 1}\frac{t - 1}{t - 1} = 1,$$

kun $t > 1$.

Funktion jatkuvuus pisteessä tarkoittaa sitä, että

1. se on määritelty tässä pisteessä,
2. sillä on raja-arvo tässä pisteessä,
3. sen arvo ja raja-arvo tässä pisteessä ovat yhtä suuret.

Määritelmä 8.1.4

Oletetaan, että $A \subseteq \R^2$. Funktio $f : A \to \R$ on jatkuva pisteessä $(x_0, y_0) \in A$, jos

$$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)}f(x, y) = f(x_0, y_0).$$

Funktio $f$ on jatkuva joukossa $A$, jos se on jatkuva joukon $A$ jokaisessa pisteessä.

Tässä kohtaa huomautetaan, että yhden reaalimuuttujan funktiot voidaan tulkita aina kahden reaalimuuttujan funktioiksi. Jos $f$ on kuvaus $A \to \R$, missä $A \subseteq \R$, niin ehdolla $\hat{f}(x, y) = f(x)$ voidaan määritellä vastaava kahden muuttujan funktio. Niinpä kaikki seuraavassa esitettävät tulokset koskevat myös yhden muuttujan funktioita.

Kaikki (yhden muuttujan) alkeisfunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan, ja lisäksi niiden erinäisinä laskutoimituksina saatavat funktiot ovat jatkuvia.

Lause 8.1.5

Oletetaan, että $f$ ja $g$ ovat kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita, että $(x_0, y_0) \in \R^2$ ja $\beta \in \R$. Olkoon lisäksi $f$ jatkuva pisteessä $(x_0, y_0)$.

1. Jos $g$ on jatkuva pisteessä $(x_0, y_0)$, niin $\beta f$, $f + g$ ja $fg$ ovat jatkuvia pisteessä $(x_0, y_0)$.
2. Jos $g$ on jatkuva pisteessä $(x_0, y_0)$ ja $g(x_0, y_0) \not= 0$, niin $\frac{f}{g}$ on jatkuva pisteessä $(x_0, y_0)$.
3. Jos $g$ on jatkuva pisteessä $f(x_0, y_0)$, niin yhdistetty funktio $(g \circ f)(x, y) = g(f(x, y))$ on jatkuva pisteessä $(x_0, y_0)$.

Esimerkki 8.1.6

Koska $x$, $y$, $\sqrt{x}$ ja $\e^x$ määrittelevät määrittelyjoukoissaan jatkuvat funktiot, niin funktio

$$f(x, y) = \e^x\sqrt{5x + y^3}$$

on jatkuva.

Viimeinen käsite, mitä tässä materiaalissa erityisesti tarvitaan, on funktion osittaisderivaatta. Kyseessä on eräänlainen yhden muuttujan funktion derivaatan yleistys, jossa derivoidaan tietyn muuttujan suhteen.

Määritelmä 8.1.7

Oletetaan, että $A \subseteq \R^2$ ja että piste $(x_0, y_0)$ on joukon $A$ kasautumispiste. Funktio $f : A \to \R$ on osittaisderivoituva muuttujan $x$ suhteen pisteessä $(x_0, y_0)$, jos raja-arvo

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}$$

on olemassa. Tällöin sanotaan, että funktiolla $f$ on osittaisderivaatta $f_x(x_0, y_0)$ pisteessä $(x_0, y_0)$. Vastaavasti funktio $f$ on osittaisderivoituva muuttujan $y$ suhteen pisteessä $(x_0, y_0)$, jos raja-arvo

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = f_y(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}$$

on olemassa. Tällöin sanotaan, että funktiolla $f$ on osittaisderivaatta $f_y(x_0, y_0)$ pisteessä $(x_0, y_0)$.

Osittaisderivointi noudattaa samoja laskusääntöjä kuin tavanomainenkin derivointi, kunhan muistetaan ajatus muiden kuin derivointimuuttujien pitämisestä vakiona. Kahden muuttujan funktion osittaisderivoinnin ketjusääntö on hiukan monimutkaisempi kuin yhden muuttujan tapauksessa, sillä sisäfunktioita on kaksi.

Lause 8.1.8

Olkoot $f_1$, $f_2$ ja $g$ kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Jos funktiot $f_1$ ja $f_2$ ovat osittaisderivoituva pisteessä $(x, y)$ ja funktio $g$ on osittaisderivoituva pisteessä $(f_1(x, y), f_2(x, y))$, niin

$$\frac{\partial}{\partial x}(g(f_1(x, y), f_2(x, y))) = \frac{\partial g}{\partial f_1}\frac{\partial f_1}{\partial x}(x, y) + \frac{\partial g}{\partial f_2}\frac{\partial f_2}{\partial x}(x, y)$$

ja

$$\frac{\partial}{\partial y}(g(f_1(x, y), f_2(x, y))) = \frac{\partial g}{\partial f_1}\frac{\partial f_1}{\partial y}(x, y) + \frac{\partial g}{\partial f_2}\frac{\partial f_2}{\partial y}(x, y).$$

Tämä sääntö on otettava huomioon erityisesti symbolisia osittaisderivaatan lausekkeita kirjoitettaessa.

Esimerkki 8.1.9

Esimerkin 8.1.6 funktio $f(x, y) = \e^x\sqrt{5x + y^3}$ on osittaisderivoituva molempien muuttujien suhteen, ja osittaisderivaatat

$$f_x(x, y) = \e^x\sqrt{5x + y^3} + \e^x\frac{5}{2\sqrt{5x + y^3}} = \e^x\frac{10x + 2y^3 + 5}{2\sqrt{5x + y^3}}$$

ja

$$f_y(x, y) = \e^x\frac{3y^2}{\sqrt{5x + y^3}}.$$

Todetaan vielä loppuun teoreettisesti tärkeä differentiaalilaskennan väliarvolause osittaisderivaatoille.

Lause 8.1.10 (Differentiaalilaskennan väliarvolause)

Jos kahden reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio $f$ on jatkuva suljetussa suorakulmiossa $[a, b] \times [c, d]$ ja molempien muuttujien suhteen osittaisderivoituva avoimessa suorakulmiossa $(a, b) \times (c, d)$, niin jokaista $y \in (c, d)$ kohti löytyy sellainen $x_0 \in (a, b)$, että

$$f(b, y) - f(a, y) = f_x(x_0, y)(b - a)$$

ja jokaista $x \in (a, b)$ kohti löytyy sellainen $y_0 \in (c, d)$, että

$$f(x, d) - f(x, c) = f_y(x, y_0)(d - c).$$

Palautusta lähetetään...