Tämä kurssi on jo päättynyt.
$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

# Reaalisen määrätyn integraalin laskeminen¶

Reaalisia määrättyjä integraaleja on joskus kätevää laskea kompleksimuuttujan funktion integraalina. Residylaskentaa käyttäen ja etsimällä sopivat sulkeutuvat integrointitiet voi esimerkiksi seuraavassa käsiteltäviä hankalia reaalisia integraaleja laskea (naurettavan) helposti.

Oletetaan läpi tämän osion, että $$p$$ ja $$q$$ ovat polynomeja, jolloin $$p(x)/q(x)$$ on rationaalifunktio.

## Integraali muotoa $$\int_{0}^{2\pi} f(\sin(x),\cos(x))\,\rd x$$¶

Käyttämällä ovelasti bijektiivistä muuttujanvaihtoa $$z = \e^{\im x}$$, missä $$x \in [0, 2\pi]$$, sini- ja kosinifunktioiden mielivaltaisen lausekkeen reaalinen integraali

$\int_{0}^{2\pi}f(\sin(x), \cos(x))\,\rd x$

voidaan samastaa yksikköympyrän yli lasketun kompleksisen integraalin kanssa. Tällöin nimittäin

$\sin(x) = \frac{\e^{\im x} - \e^{-\im x}}{2\im} = \frac{z - z^{-1}}{2\im} \qquad\text{ja}\qquad \cos(x) = \frac{\e^{\im x} + \e^{-\im x}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2},$

ja koska

$\frac{\rd z}{\rd x} = \frac{\rd}{\rd x}\e^{\im x} = \im\e^{\im x} = \im z,$

differentiaali $$\rd x = \rd z / (\im z)$$. Jos merkitään $$S = \{z \in \C \mid |z| = 1\}$$, saadaan

$\int_{0}^{2\pi}f(\sin(x), \cos(x))\,\rd x = \int_Sf\left(\frac{z - z^{-1}}{2\im}, \frac{z + z^{-1}}{2}\right)\frac{1}{\im z}\rd z.$

Esimerkki 7.2.1

$\int_{0}^{2\pi} \frac{\rd t}{5+4\sin(t)}.$

Tässä integrointiväli on $$[0, 2\pi]$$ ja $$f(\sin(t), \cos(t)) = (5 + 4\sin(t))^{-1}$$, joten voidaan soveltaa edellä kuvattua menetelmää. Sijoituksella $$z = \e^{\im t}$$ saadaan siis

$\int_{0}^{2\pi} \frac{\rd t}{5+4\sin(t)} = \int_S\left(5 + 4\frac{z - z^{-1}}{2\im}\right)^{-1}\frac{1}{\im z}\,\rd z = \int_S\frac{\rd z}{2z^2 + 5\im z - 2},$

missä $$S$$ on origokeskinen yksikköympyrä. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan nojalla $$2z^2 + 5\im z - 2 = 0$$ täsmälleen silloin, kun

$z = \frac{-5\im + \left((5\im)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)\right)^{1/2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5\im + \left(-9\right)^{1/2}}{4} = \frac{-5\im \pm 3\im}{4},$

eli kun $$z = -2\im$$ tai $$z = -\frac{\im}{2}$$. Näistä vain $$-\frac{\im}{2}$$ on yksikköympyrän sisäpuolella, joten integrandi

$\frac{1}{2z^2 + 5\im z - 2} = \frac{1}{2(z + 2\im)\left(z + \frac{\im}{2}\right)}$

on analyyttinen kaikkialla integrointialueessa paitsi pisteessä $$-\frac{\im}{2}$$, missä sillä on yksinkertainen napa. Residy

$\res_{z = -\im/2}\left(\frac{1}{2z^2 + 5\im z - 2}\right) = \lim_{z \to -\im/2}\left(z + \frac{\im}{2}\right)\frac{1}{2(z + 2\im)\left(z + \frac{\im}{2}\right)} = \lim_{z \to -\im/2}\frac{1}{2(z + 2\im)} = \frac{1}{3\im},$

ja täten residylauseen nojalla

$\int_{0}^{2\pi} \frac{\rd t}{5+4\sin(t)} = 2\pi\im \cdot \frac{1}{3\im} = \frac{2\pi}{3}.$

Pohdi 7.2.2

Onko esitellyn menetelmän toimivuuden tai käytännöllisyyden kannalta oleellista, että

1. integroimisväli on täsmälleen $$[0, 2\pi]$$,
2. integraalissa esiintyy $$\sin(x)$$ tai $$\cos(x)$$, eikä esimerkiksi $$\sin(3x)$$,
3. $$f\left(\frac{z - z^{-1}}{2\im}, \frac{z + z^{-1}}{2}\right)$$ on erityisen helposti integroituva?

Tämän tyypin integraaleissa vaatimus kertoimesta $$1$$ sinin ja kosinin argumentin edessä ei ole välttämätön. Esimerkiksi

$\sin(3x) = \frac{\e^{\im 3x} - \e^{-\im 3x}}{2\im} = \frac{z^3 - z^{-3}}{2\im},$

joten nämäkin voidaan palauttaa uuden muuttujan $$z$$ rationaalifunktioksi. Sen sijaan esimerkiksi lauseketta $$\sin(x^2)$$ ei voida esittää näin.

Esimerkki 7.2.3

$\int_{0}^{2\pi} \frac{\cos(2t)}{5-4\cos(t)}\,\rd t.$

Tässä integrointiväli on $$[0, 2\pi]$$ ja termistä $$\cos(2t)$$ huolimatta voidaan soveltaa sijoitusta $$z = \e^{\im t}$$. Tällöin edellistä esimerkkiä mukaillen

$\int_{0}^{2\pi} \frac{\cos(2t)}{5-4\cos(t)}\,\rd t = \int_{0}^{2\pi}\frac{\frac{\e^{\im 2t} + \e^{-\im 2t}}{2}}{5 - 4\frac{\e^{\im t} + \e^{-\im t}}{2}}\,\rd t = \int_S\frac{z^2 + z^{-2}}{10 - 4(z + z^{-1})}\frac{1}{\im z}\,\rd z,$

missä $$S$$ on origokeskinen yksikköympyrä. Tämä integraali supistuu edelleen muotoon

$\int_S\frac{z^2 + z^{-2}}{10\im z - 4\im z^2 - 4\im}\,\rd z = -\frac{1}{2\im}\int_S\frac{z^4 + 1}{2z^4 - 5z^3 + 2z^2}\,\rd z = \frac{\im}{2}\int_S\frac{z^4 + 1}{z^2(z - 2)(2z - 1)}\,\rd z.$

Integrandi on analyyttinen kaikkialla, paitsi origossa (kaksinkertainen napa), sekä pisteissä $$z = 2$$ ja $$z = \frac{1}{2}$$ (yksinkertaiset navat). Näistä vain origo ja $$\frac{1}{2}$$ jäävät integrointialueeseen, joten lasketaan integrandin

$g(z) = \frac{z^4 + 1}{z^2(z - 2)(2z - 1)}$

residyt niissä:

\begin{split}\begin{aligned} \res_{z = 0}(g) &= \lim_{z \to 0}\frac{1}{(2 - 1)!}\frac{\rd^{2 - 1}}{\rd z^{2 - 1}}z^2g(z) = \lim_{z \to 0}\frac{\rd}{\rd z}\frac{z^4 + 1}{(z - 2)(2z - 1)} \\ &= \lim_{z \to 0}\frac{4z^3(z - 2)(2z - 1) - (z^4 + 1)(2z - 1 + 2(z - 2))}{(z - 2)^2(2z - 1)^2} \\ &= \lim_{z \to 0}\frac{0 - 1 \cdot (-1 + 2 \cdot (-2))}{(-2)^2 \cdot (-1)^2} = \frac{5}{4} \\ \res_{z = 1/2}(g) &= \lim_{z \to 1/2}\left(z - \frac{1}{2}\right)g(z) = \lim_{z \to 1/2}\frac{z^4 + 1}{2z^2(z - 2)} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^4 + 1}{2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2} - 2\right)} = -\frac{17}{12}. \end{aligned}\end{split}

Täten residylauseen nojalla

$\int_{0}^{2\pi} \frac{\cos(2t)}{5-4\cos(t)}\,\rd t = \frac{\im}{2} \cdot 2\pi\im \cdot \left(\frac{5}{4} - \frac{17}{12}\right) = \frac{\pi}{6}.$

## Integraali muotoa $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{p(x)}{q(x)}\,\rd x$$¶

Jos tiedetään, että epäoleellinen integraali

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{p(x)}{q(x)}\,\rd x = \int_{-\infty}^{0}\frac{p(x)}{q(x)}\,\rd x + \int_{0}^{\infty}\frac{p(x)}{q(x)}\,\rd x$

suppenee, niin se voidaan määrittää Cauchyn pääarvona (Cauchy principal value)

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{p(x)}{q(x)}\,\rd x = \lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}\frac{p(x)}{q(x)}\,\rd x.$

Lähdetään tutkimaan tällaisen raja-arvon määrittämistä.

Määritellään integroitavaa rationaalifunktiota vastaava kompleksimuuttujan rationaalifunktio $$p(z)/q(z)$$, missä reaalinen muuttuja vain vaihdetaan kompleksiseen. Oletetaan lisäksi yleisyyttä loukkaamatta, että polynomeilla $$p$$ ja $$q$$ ei ole yhteisiä nollakohtia. Integraali on olemassa vain, kun nimittäjällä $$q(x)$$ ei ole nollakohtia, eli funktiolla $$p(z)/q(z)$$ ei saa olla reaalisia napoja. Tällöin tämä funktio on analyyttinen jokaisessa reaaliakselin pisteessä. Suljetun integrointitien löytämiseksi määritellään

$C_R = \{R\e^{\im t} \mid t \in [0, \pi]\} \qquad\text{ja}\qquad S_R = [-R, R] \cup C_R,$

jolloin $$S_R$$ on ylempään puolitasoon sijoittuva origokeskinen puoliympyrä. Kompleksinen rationaalifunktio on siis analyyttinen kaikkialla tien $$S_R$$ sisäpuolella, paitsi mahdollisissa eristetyissä erikoispisteissä.

Kuva 7.2.1. Integroimistie, joka koostuu $$R$$-säteisen ympyrän puolikkaasta ja reaaliakselin janasta.

Jos tien $$S_R$$ ympyräkaari suunnistetaan vastapäivään, niin voidaan kirjoittaa

$\int_{S_R}\frac{p(z)}{q(z)}\,\rd z = \int_{-R}^{R}\frac{p(x)}{q(x)}\,\rd x + \int_{C_R}\frac{p(z)}{q(z)}\,\rd z.$

Tässä yhtälön vasemman puolen integraali voidaan laskea residylauseen avulla, jolloin jäljelle jää integraalin

$\int_{C_R}\frac{p(z)}{q(z)}\,\rd z$

määrittäminen. Aloitetaan kirjoittamalla

$\frac{p(z)}{q(z)} = \frac{(z - w_1)(z - w_2) \cdots (z - w_m)}{(z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)}.$

Koska integraalista ollaan kiinnostuneita silloin, kun $$R \to \infty$$, voidaan olettaa että $$|z_k| < R$$ aina, kun $$k = 1, 2, \ldots, n$$. Jos nyt $$z \in C_R$$, eli $$|z| = R$$, niin $$|z| > |z_k|$$, kun $$k = 1, 2, \ldots, n$$ ja kolmioepäyhtälön nojalla

$\left|\frac{p(z)}{q(z)}\right| \leq \frac{(|z| + |w_1|)(|z| + |w_2|) \cdots (|z| + |w_m|)}{(|z| - |z_1|)(|z| - |z_2|) \cdots (|z| - |z_n|)} = \frac{R^m\left(1 + \frac{|w_1|}{R}\right)\left(1 + \frac{|w_2|}{R}\right) \cdots \left(1 + \frac{|w_m|}{R}\right)}{R^n\left(1 - \frac{|z_1|}{R}\right)\left(1 - \frac{|z_2|}{R}\right) \cdots \left(1 - \frac{|z_n|}{R}\right)}.$

Niinpä koska tien $$C_R$$ pituus on $$\pi R$$, ML-lauseesta seuraa, että

$0 \leq \left|\int_{C_R}\frac{p(z)}{q(z)}\,\rd z\right| \leq \frac{\pi\left(1 + \frac{|w_1|}{R}\right)\left(1 + \frac{|w_2|}{R}\right) \cdots \left(1 + \frac{|w_m|}{R}\right)}{R^{n - m - 1}\left(1 - \frac{|z_1|}{R}\right)\left(1 - \frac{|z_2|}{R}\right) \cdots \left(1 - \frac{|z_n|}{R}\right)}.$

Jos $$n - m - 1 > 0$$, eli jos $$n - m \geq 2$$, eli jos nimittäjän aste on osoittajan astetta vähintään kahta suurempi, ylärajan raja-arvo

$\lim_{R \to \infty}\frac{\pi\left(1 + \frac{|w_1|}{R}\right)\left(1 + \frac{|w_2|}{R}\right) \cdots \left(1 + \frac{|w_n|}{R}\right)}{R^{m - n - 1}\left(1 - \frac{|z_1|}{R}\right)\left(1 - \frac{|z_2|}{R}\right) \cdots \left(1 - \frac{|z_m|}{R}\right)} = 0,$

ja tällöin myös

$\lim_{R \to \infty}\int_{C_R}\frac{p(z)}{q(z)}\,\rd z = 0.$

Jos siis pisteet $$z_1, z_2, \ldots, z_n \in \C \setminus \R$$ ovat funktion $$p(z)/q(z)$$ navat ja $$\deg(p) \leq \deg(q) - 2$$, niin

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{p(x)}{q(x)}\,\rd x = \lim_{R \to \infty}\int_{S_R}\frac{p(z)}{q(z)}\,\rd z = 2\pi\im\sum_{\imag(z_k) > 0}\res_{z = z_k}\left(\frac{p(z)}{q(z)}\right),$

eli integraali voidaan laskea ylempään puolitasoon jäävissä navoissa muodostuvien residyjen avulla.

Esimerkki 7.2.4

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}\,\rd x.$

Tätä varten määritetään ylempään puolitasoon osuvat eristetyt erikoispisteet, ja lasketaan niissä residyt. Nimittäjän nollakohdista $$\pm\im$$ ja $$\pm 2\im$$ pisteet $$z = \im$$ ja $$z = 2\im$$ jäävät ylempään puolitasoon, ja kumpikin niistä on integroitavan funktion

$\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} = \frac{1}{(z - \im)(z + \im)(z - 2\im)(z + 2\im)}$

yksinkertainen napa. Niinpä residyt

\begin{split}\begin{aligned} \res_{z = \im}\left(\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\right) &= \lim_{z \to \im}(z - \im)\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} = \lim_{z \to \im}\frac{1}{(z + \im)(z - 2\im)(z + 2\im)} \\ &= \frac{1}{(\im + \im)(\im - 2\im)(\im + 2\im)} = -\frac{\im}{6} \\ \res_{z = 2\im}\left(\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\right) &= \lim_{z \to 2\im}(z - 2\im)\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} = \lim_{z \to 2\im}\frac{1}{(z - \im)(z + \im)(z + 2\im)} \\ &= \frac{1}{(2\im - \im)(2\im + \im)(2\im + 2\im)} = \frac{\im}{12} \end{aligned}\end{split}

ja integraali

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}\,\rd x = 2\pi\im \cdot \left(-\frac{\im}{6} + \frac{\im}{12}\right) = \frac{\pi}{6}.$
• Residy on funktion Laurentin sarjakehitelmään liittyvä kerroin $$a_{-1}$$.

• Funktion $$f$$ integraali yhden eristetyn erikoispisteen ympäri kiertävää paloittain sileää Jordanin käyrää $$S$$ pitkin on

$\int_Sf(z)\,\rd z = 2\pi\im\res_{z = z_0}(f).$
• Jos integroimistien sisään jää useampia eristettyjä erikoispisteitä, niin integraali voidaan laskea usean integraalin summana, jossa jokainen integroimistie sulkee sisäänsä täsmälleen yhden eristetyn erikoispisteen.

• $$\int_0^{2\pi}f(\sin(x), \cos(x))\rd x$$ voidaan muuntaa kompleksiseksi integraaliksi sijoituksella $$z = \e^{\im x}$$ ja esittämällä $$\sin(x)$$ ja $$\cos(x)$$ eksponenttifunktion avulla.
• Rationaalifunktion $$p(x)/q(x)$$ integraali $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{p(x)}{q(x)}\,\rd x$$ voidaan laskea ylempään puolitasoon jäävissä navoissa muodostuvien residyjen avulla, kunhan polynomilla $$q$$ ei ole reaalisia nollakohtia ja $$\deg(q) \geq \deg(p) + 2$$.
Palautusta lähetetään...