$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

# Residy¶

Viimeisenä asiana tutustutaan residylaskentaan. Yhdistämällä Laurentin sarjan ja deformaatiolauseen yleistyksen saadaan suoraan kätevä tapa integraalin laskemiseksi Jordanin käyrän yli. Karkeasti ottaen oleellista on osata havaita funktion eristetyt erikoispisteet, laskea näissä pisteissä residyt ja soveltaa residylausetta. Residyjen laskennassa oleellista taas on tunnistaa, millaisesta erikoispisteestä on kyse käyttäen hyväksi funktioiden tunnettuja ominaisuuksia, ja lopulta käyttämään tämän tiedon pohjalta sopivaa laskentatapaa. Residylaskennan sovelluksena esitellään keinot laskea tietyn tyyppisiä reaalisia integraaleja kompleksianalyysin keinoin.

Kaikki tässä luvussa tarvittavat työkalut on esitelty jo aiemmin. Residylaskenta nivookin mukavasti esitellyt teemat yhteen näin lopuksi ja tarjoaa niihin kertauksenomaisen katsauksen ilman, että joudutaan ottamaan käyttöön uusia käsitteitä. Jatkossa kurssin aikana opittu tarjoaa pohjatiedon kompleksilaskennan sovelluksiin, kuten Fourierin sarjoihin tai Laplace-muunnokseen. Toisaalta keskeisten käsitteiden tunteminen luo lähtökohdan teorian syvällisempään käsittelyyn, sekä uusien käsitteiden ja tulosten opiskeluun ja ymmärtämiseen itsenäisestikin.

Keskitytään seuraavaksi funktion $$f$$ Laurentin sarjan $$f(z) = \sum\limits_{n = -\infty}^{\infty} a_n(z - z_0)^n$$ kertoimeen $$a_{-1}$$. Kuten lauseessa 5.3.6 todetaan, kerroin

$a_{-1} = \frac{1}{2\pi\im}\int_{S}\frac{f(z)}{(z - z_0)^{-1 + 1}}\,\rd z = \frac{1}{2\pi\im}\int_{S}f(z)\,\rd z,$

missä $$S$$ on pisteen $$z_0$$ ympäri kiertävä paloittain sileä Jordanin käyrä. Jos siis sopivan funktion $$f$$ Laurentin sarja tunnetaan, siihen liittyviä integraaleja voidaan määrittää varsin helposti.

Määritelmä 7.1.1

Oletetaan, että funktio $$f$$ on analyyttinen alueessa $$0 < |z - z_0| < R$$, että $$S$$ on paloittain sileä Jordanin käyrä tässä alueessa ja että funktion $$f$$ Laurentin sarja pisteessä $$z_0$$ on

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n.$

Kerrointa

$a_{-1} = \frac{1}{2\pi\im}\int_Sf(z)\,\rd z$

kutsutaan funktion $$f$$ residyksi pisteessä $$z_0$$ ja merkitään $$\res\limits_{z = z_0}(f)$$.

Residyn määrittämiseen käytettävä menetelmä vaihtelee sen mukaan, onko

1. funktio $$f$$ analyyttinen pisteessä $$z_0$$ tai funktiolla $$f$$ poistuva erikoispiste pisteessä $$z_0$$,
2. funktiolla $$f$$ $$k$$-kertainen napa pisteessä $$z_0$$,
3. funktiolla $$f$$ oleellinen erikoispiste pisteessä $$z_0$$.

Tapaukset palautuvat Cauchy-Goursat’n lauseeseen ja eristettyjen erikoispisteiden määritelmiin. Käsitellään jokainen niistä erikseen.

Residyn olemassaolo pisteessä $$z_0$$ vaatii funktion analyyttisuuden jossakin sen punkteeratussa ympäristössä. Jos tämän lisäksi funktio $$f$$ on analyyttinen pisteessä $$z_0$$, niin Cauchy-Goursat’n lauseen oletukset toteutuvat ja

$\int_Sf(z)\,\rd z = 0,$

kun $$S$$ on residyn määritelmän mukainen käyrä. Täten $$\res\limits_{z = z_0}(f) = 0$$. Samoin käy, kun funktiolla $$f$$ on pisteessä $$z_0$$ poistuva erikoispiste. Silloin nimittäin Laurentin sarjan kerroin $$a_n = 0$$ aina, kun $$n < 0$$, joten $$a_{-1} = \res\limits_{z = z_0}(f) = 0$$.

Esimerkki 7.1.2

Lasketaan funktioiden $$\e^{1/z}$$ ja $$\tan(z)$$ residyt origossa, sekä niiden integraalit origokeskisen yksikköympyrän $$S$$ yli.

Koska

$\e^{1/z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1/z)^n}{n!}=\sum_{n = -\infty}^{0}\frac{1}{(-n)!}z^{n}=1+\frac{1}{z}+\sum_{n=-\infty}^{2}\frac{1}{(-n)!}z^n$

ja $$\e^{1/z}$$ on analyyttinen alueessa $$0 < |z| < 1$$, niin

$\res_{z = 0}(\e^z) = a_{-1} = 1 \qquad\text{ja}\qquad \int_S \e^{1/z}\,\rd z = 2\pi\im a_{-1} = 2\pi\im.$

Koska $$\tan(z)$$ on analyyttinen alueessa $$0 < |z| < 1$$ ja pisteessä $$0$$, niin

$\res_{z = 0}(\tan(z)) = 0 \qquad\text{ja}\qquad \int_S \tan(z)\,\rd z = 0.$

Jos funktiolla $$f$$ on pisteessä $$z_0$$ $$k$$-kertainen napa, niin lauseen 6.3.2 nojalla raja-arvo

$\lim_{z \to z_0}(z - z_0)^kf(z) = \lim_{z \to z_0}(z - z_0)^k\sum_{n = -k}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \lim_{z \to z_0}\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n - k}(z - z_0)^{n}$

on olemassa. Tässä potenssisarja

$g(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n - k}(z - z_0)^n$

määrittelee pisteen $$z_0$$ ympäristössä analyyttisen funktion, missä

$a_{n - k} = \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!}.$

Kun $$n - k = -1$$, on oltava $$n = k - 1$$, joten

$\res_{z = z_0}(f) = a_{-1} = \frac{g^{(k - 1)}(z_0)}{(k - 1)!}.$

Analyyttisena funktiona $$g^{(k - 1)}$$ on jatkuva, ja tästä seuraa että

$g^{(k - 1)}(z_0) = \lim_{z \to z_0}\frac{\rd^{k - 1}}{\rd z^{k - 1}}g(z) = \lim_{z \to z_0}\frac{\rd^{k - 1}}{\rd z^{k - 1}}(z - z_0)^kf(z),$

sillä $$g$$ on funktion $$(z - z_0)^kf(z)$$ analyyttinen jatke pisteeseen $$z_0$$. Residylle saadaan siis lopulta laskukaava

$\res_{z = z_0}(f) = \lim_{z \to z_0}\frac{1}{(k - 1)!}\frac{\rd^{k - 1}}{\rd z^{k - 1}}(z - z_0)^kf(z).$

Jos funktiolla $$f$$ on pisteessä $$z_0$$ oleellinen erikoispiste, niin mikään edellä esitelty ei toimi. Itse asiassa yleisempääkään menetelmää ei ole, joten tässä tapauksessa on joko pystyttävä määrittämään suoraan Laurentin sarjakehitelmä tai laskemaan residyn vaihtoehtoisesti määrittelevä integraali.

Yhdistämällä juuri läpi käydyt päättelyketjut residyn laskeminen voidaan tiivistää seuraavasti.

Oletetaan, että funktio $$f$$ on analyyttinen alueessa $$0 < |z - z_0| < R$$. Tällöin seuraavat väitteet ovat voimassa.

1. Jos $$f$$ on analyyttinen pisteessä $$z_0$$ tai piste $$z_0$$ on funktion $$f$$ poistuva erikoispiste, niin $$\res\limits_{z = z_0}(f) = 0$$.

2. Jos piste $$z_0$$ on funktion $$f$$ $$k$$-kertainen napa, niin

(1)$\res_{z = z_0}(f) = \lim_{z \to z_0}\frac{1}{(k - 1)!}\frac{\rd^{k - 1}}{\rd z^{k - 1}}(z - z_0)^kf(z).$
3. Jos piste $$z_0$$ on funktion $$f$$ oleellinen erikoispiste, niin residy on pääteltävä Laurentin sarjasta tai laskettava integraalina (ei rakentavaa, jos residyä käytettäisiin integraalin määrittämiseen).

Jos funktion $$f$$ napa pisteessä $$z_0$$ on yksinkertainen ($$k = 1$$), niin residyn laskukaava (1) tulee suoraviivaiseen muotoon

$\res_{z = z_0}(f) = \lim_{z \to z_0}(z - z_0)f(z).$

Tapauksissa $$k = 2$$ ja $$k = 3$$ residyn laskeminen tällä kaavalla vaatii ensimmäisen tai toisen derivaatan raja-arvon määrittämistä, ja on sellaisenaan vielä joskus järkevää tehdä. Kovin korkean kertaluvun napojen tapauksessa menetelmä käy kuitenkin työlääksi, ja voi olla syytä pohtia residyn laskemista suoraan Laurentin sarjan avulla.

Esimerkki 7.1.3

$\frac{\sin(z)}{z^2} \qquad\text{ja}\qquad \frac{1}{z^2(z + 1)} = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{z} + \frac{1}{z + 1}$

residyt origossa.

Koska esimerkin 6.2.6 mukaan funktiolla $$\sin(z)/z$$ on origossa poistuva erikoispiste, funktiolla $$\sin(z)/z^2$$ on oltava siellä yksinkertainen napa. Tämän ja origon ulkopuolella toteutuvan analyyttisuuden vuoksi

$\res_{z = 0}\left(\frac{\sin(z)}{z^2}\right) = \lim_{z \to 0}z\frac{\sin(z)}{z^2} = \lim_{z \to 0}\frac{\sin(z)}{z} = 1.$

Jälkimmäisen funktion kaksinkertaiseen napaan $$0$$ liittyvä residy

$\res_{z = 0}\left(\frac{1}{z^2(z + 1)}\right) = a_{-1} = -1$

kannattaa päätellä suoraan osamurtohajotelmasta, sillä $$\frac{1}{z + 1}$$ on analyyttinen origossa ja täten Laurentin sarjan kertoimeen $$a_{-1}$$ vaikuttaa vain termi $$-z^{-1}$$. Osamurtokehitelmän etsiminen voi olla vähemmän työlästä kuin lasku

\begin{split}\begin{aligned} \res_{z = 0}\left(\frac{1}{z^2(z + 1)}\right) &= \lim_{z \to 0}\frac{1}{(2 - 1)!}\frac{\rd^{2 - 1}}{\rd z^{2 - 1}}z^2\frac{1}{z^2(z + 1)} \\ &= \lim_{z \to 0}\frac{\rd}{\rd z}\frac{1}{z + 1} \\ &= \lim_{z \to 0}-\frac{1}{(z + 1)^2} = -1. \end{aligned}\end{split}

Pohditaan vielä hetken aikaa, milloin kaavan (1) antama raja-arvo todella on residy. Tapauksessa $$k = 1$$ kyseessä on raja-arvo $$\lim\limits_{z \to z_0}(z - z_0)f(z) = L$$. Jos $$L = 0$$, raja-arvon $$\lim\limits_{z \to z_0}f(z)$$ on oltava olemassa äärellisenä. Tällöin $$z_0$$ on funktion $$f$$ poistuva erikoispiste, joten $$\res\limits_{z = z_0}(f) = 0 = L$$. Jos $$L \not= 0$$, niin $$k = 1$$ on pienin positiivinen kokonaisluku, jolla raja-arvo $$\lim\limits_{z \to z_0}(z - z_0)^kf(z)$$ on olemassa. Tällöin $$z_0$$ on lauseen 6.3.2 nojalla funktion $$f$$ yksinkertainen napa, joten

$\res_{z = z_0}(f) = \lim_{z \to z_0}(z - z_0)f(z) = L.$

Johtopäätöksenä voidaan todeta, että yksinkertaisen navan tapauksessa kaava (1) antaa aina funktion $$f$$ residyn pisteessä $$z_0$$.

Jos navan kertaluku $$k > 1$$, niin tilanne on hiukan monimutkaisempi. Edellä esitetty päättely residyn laskemiseksi napapisteessä voidaan kääntää ympäri silloin, kun $$k$$ on pienin kokonaisluku, jolla kaavan (1) mukainen raja-arvo on olemassa. Tällöin piste $$z_0$$ on myös funktion $$f$$ $$k$$-kertainen napa, joten johtopäätöksenä todetaan, että kaava (1) antaa funktion $$f$$ residyn pisteessä $$z_0$$, jos ja vain jos $$k$$ on pienin positiivinen kokonaisluku, jolla kyseinen raja-arvo on olemassa. Jos raja-arvoa ei ole olemassa millekään positiiviselle kokonaisluvulle $$k$$, funktiolla $$f$$ on pisteessä $$z_0$$ oleellinen erikoispiste ja residy on laskettava suoraan sarjakehitelmän tai integraalin avulla.

Residyn määrittelemisen tärkein etu on, että sen avulla voi laskea (rajoitetusti) epäanalyyttistenkin funktioiden integraaleja suljetun käyrän yli. Ideana on deformoida integrointitietä siten, että sen sisäänsä sulkemista alueista sivuutetaan ne, joissa funktio on analyyttinen ja ympäröidään jokainen eristetty erikoispiste erikseen sopivalla käyrällä. Tällöin jokaisen “hankalan” pisteen kohdalla integraalin arvoon lisätään funktion residy siinä pisteessä sopivasti skaalattuna.

Lause 7.1.4 (Residylause)

Olkoon funktio $$f$$ analyyttinen alueessa $$A$$ eristettyjä erikoispisteitä $$z_1, z_2,\ldots, z_n \in A$$ lukuun ottamatta, ja olkoon $$S \subseteq A$$ paloittain sileä Jordanin käyrä, joka sulkee sisäänsä jokaisen pisteistä $$z_1, z_2, \ldots, z_n$$. Tällöin

$\int_S f(z)\,\rd z = 2\pi\im \sum_{k=1}^n \res_{z = z_k}(f).$
Todistus
Väite seuraa suoraviivaisesti residyn määritelmästä ja deformaatiolauseen yleistyksestä. Integroimistie $$S$$ voidaan korvata teillä $$S_1, S_2, \ldots, S_n \subseteq A$$, joista kukin sulkee sisäänsä täsmälleen yhden pisteistä $$z_1, z_2, \ldots, z_n$$. Alkuperäinen integraali lasketaan tällöin teiden $$S_1, S_2, \ldots, S_n$$ yli määritettyjen integraalien summana, joiden arvot ovat $$2\pi\im \res_{z = z_k}(f)$$.

Residylauseen ansiosta määrätyn integraalin laskeminen käyräintegraalina voidaan välttää tapauksissa, joissa funktion Laurentin sarjakehitelmä tunnetaan tai residy voidaan muuten etsiä helposti. Esimerkki jälkimmäisestä on tilanne, jossa funktiolla on integroimistien sisällä vain matalan kertaluvun napoja.

Esimerkki 7.1.5

Lasketaan integraali $$\int_S f(z)\,\rd z$$, kun $$S$$ on ympyrä $$|z|=4$$ ja

$f(z)= \frac{1}{z\sin(z)}.$

Funktio $$f$$ on integrointitien sisällä analyyttinen kaikkialla paitsi pisteissä $$z=0$$ ja $$z=\pm\pi$$. Lasketaan residyt näissä pisteissä.

1. Raja-arvoa $$\lim\limits_{z \to 0}zf(z) = \lim\limits_{z \to 0}1/\sin(z)$$ ei ole olemassa, mutta

$\lim_{z \to 0}z^2f(z) = \lim_{z \to 0}\frac{z^2}{z\sin(z)} = \lim_{z \to 0}\frac{z}{\sin(z)} = \lim_{z \to 0}\frac{1}{\frac{\sin(z)}{z}} = \frac{1}{\lim\limits_{z \to 0}\frac{\sin(z)}{z}} = \frac{1}{1} = 1.$

Täten funktiolla $$f$$ on origossa kaksinkertainen napa ja

\begin{split}\begin{aligned} \res_{z = 0}(f) &= \lim_{z\to 0}\frac{1}{(2 - 1)!}\frac{\rd^{2 - 1}}{\rd z^{2 - 1}}z^2f(z)=\lim_{z\to 0}\frac{\rd}{\rd z}\frac{z}{\sin(z)} = \lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)-z\cos(z)}{\sin^2(z)} \\ &\stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{z\to 0}\frac{\cos(z) - (\cos(z) - z\sin(z))}{2\sin(z)\cos(z)} = \lim_{z \to 0}\frac{z}{2\cos(z)} = 0. \end{aligned}\end{split}
2. Raja-arvot

$\lim_{z \to \pm\pi}(z - (\pm\pi))f(z) = \lim_{z \to \pm\pi}\frac{z \mp \pi}{z\sin(z)} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{z \to \pm\pi}\frac{1}{\sin(z) + z\cos(z)} = \mp\frac{1}{\pi}$

ovat olemassa, joten $$\res\limits_{z = \pm\pi}(f) = \mp 1/\pi$$.

Siis residylauseen nojalla

$\int_S f(z)\,\rd z = 2\pi\im\left(0 - \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi}\right) = 0.$

Esimerkki 7.1.6

Funktiolla $$f(z)=\e^{1/z}+\frac{1}{z}$$ on origossa Laurentin sarja

$f(z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{-n}}{n!}=1+\underbrace{(1+1)}_{=a_{-1}}\frac{1}{z}+\sum_{n=-\infty}^{-2}\frac{1}{(-n)!}z^n,$

joten $$\res\limits_{z = 0}(f) = 2$$. Koska lisäksi $$f$$ on analyyttinen kaikkialla muualla paitsi origossa, niin

$\int_S f(z)\,\rd z = 4\pi\im,$

missä $$S$$ on mikä tahansa paloittain sileä origon ympäri kiertävä Jordanin käyrä.

Palautusta lähetetään...