- MATH.APP.440
- 5. Sarjaoppia
- 5.1 Kompleksitermiset sarjat
Kompleksitermiset sarjat¶
Tässä luvussa käydään läpi sarjaoppia kompleksiluvuilla. Tavoitteena ei ole syvällinen sarjateorian käsittely, vaan halutaan saada määritellyksi funktioiden tavallisimmat sarjaesitykset, eli Taylorin ja Laurentin sarjat, sekä antaa joitakin työkaluja niiden käsittelyyn. Tämän vuoksi osa haastavammista tuloksista esitetään ilman todistuksia ja keskitytään lähinnä sarjojen laskennalliseen puoleen, sekä annetaan niistä esimerkkejä. Sarjaesitykset antavat tietoa funktion lokaalista käyttäytymisestä, ja tätä hyödynnetään myöhemmin erikoispisteiden luokittelussa ja edelleen residylaskennan yhteydessä.
Vaikka esitys on pyritty pitämään minimaalisena, tulee sarjojen yhteydessä vastaan paljon erilaisia käsitteitä ja tuloksia. Tämä voi tuntua hämmentävältä. Monet asiat ovat kuitenkin jälleen tuttuja reaalisten sarjojen puolelta ja perustekniikat sarjojen käsittelyssä ovat samanlaisia. Kertaus oleellisista reaalitermisten sarjojen puolelta löytyy liiteluvusta. Kun peruskäsitteet ja sarjoihin liittyvä laskenta tulee hiukan tutuksi, ei asia lopulta ole kovin hankalaa (ainakaan tässä vaaditulla tasolla).
Seuraavaksi siirrytään käsittelemään kompleksisten lukujonojen ja erityisesti sarjojen teoriaa. Totuttuun tapaan tämäkin perustuu reaalianalyysiin.
Määritelmä 5.1.1
Kompleksinen (päättymätön) lukujono (zn)∞n=0 on funktio N→C, jossa n↦zn. Sitä merkitään myös päättymättömänä listana
Oletetaan, että z∈C. Lukujono (zn)∞n=0 suppenee kohti lukua z, jos jokaista ϵ>0 kohti löytyy sellainen luonnollinen luku N, että
Tällöin merkitään
Lukujono (zn)∞n=0 suppenee, jos edellä kuvattu z on olemassa. Muulloin se hajaantuu.
Kuva 5.1.1. Lukujonon supetessa sen termit lähestyvät toisiaan.
Lukujonon suppenemista kompleksitasossa voidaan havainnollistaa kuten kuvassa 5.1.1. Siniset pisteet edustavat lukujonon termejä, ja ne lähestyvät toisiaan samalla kun niitä pitkin liikutaan lähemmäksi raja-arvoa.
Esimerkki 5.1.2
Funktio f:Z+→C,
f(n)=(2−1n)+i(5+1n)määrittelee lukujonon
((2−1n)+i(5+1n))∞n=1.Huomaa indeksoinnin välttämätön aloitus luvusta 1. Lukujonon ensimmäiset neljä termiä ovat
1+6i,32+112i,53+163i,ja74+214i.Lukujonossa
((14+i2)n)∞n=3indeksointi alkaa (ilman pakollista syytä) luvusta 3. Lukujonon kolme ensimmäistä termiä ovat
132+1164i,−7256+332i,ja−19512+411024i.Lukujonon
(einπ4)∞n=0=(cos(nπ4)+isin(nπ4))∞n=0termit toistavat sykliä
1, 1√2+1√2i, i, −1√2+1√2i, −1, −1√2−1√2i, −i, 1√2−1√2i, 1,…Osaatko sanoa suppeneeko tämä lukujono?
Kompleksisen lukujonon (zn)∞n=0 suppeneminen kohti lukua z palautuu reaalisen lukujonon (|zn−z|)∞n=0 suppenemiseen. Jos nimittäin jono (zn)∞n=0 suppenee kohti lukua z, niin yhtäpitävästi |zn−z|→0, kun n→∞ (vertaa funktion raja-arvon luonnehdintaan).
Esimerkki 5.1.3
Jos kompleksiluku α toteuttaa ehdon |α|<1, niin lukujono (αn)∞n=0 suppenee kohti nollaa. Nimittäin
sillä reaaliluvulle 0≤a<1 on voimassa an→0 kun n→∞.
Kuten funktion raja-arvo, myös kompleksisen lukujonon raja-arvo palautuu reaali- ja imaginaariosien raja-arvoihin.
Lause 5.1.4
Merkitään zn=xn+iyn reaaliluvuille xn ja yn aina, kun n∈N. Lukujono (zn)∞n=0 suppenee kohti kompleksilukua z=x+iy, missä x,y∈R, jos ja vain jos xn→x ja yn→y, kun n→∞.
Olkoon ϵ>0. Oletetaan ensin, että limn→∞zn=z ja että valittua lukua ϵ vastaa raja-arvon määrittelevän ehdon toteuttava luonnollinen luku N. Osoitetaan reaaliosien jonoa (xn)∞n=0 koskeva osa väitteestä, ja käytetään todistuksessa samaa lukua N kuin edellä. Jos nimittäin n≥N, niin oletuksen nojalla
eli limn→∞xn=x. Imaginaariosien jonoa (yn)∞n=0 koskeva väite todistetaan vastaavasti.
Oletetaan sitten, että limn→∞xn=x ja limn→∞yn=y ja että valittua lukua ϵ vastaa raja-arvot määrittelevät ehdot toteuttavat luonnolliset luvut N1 ja N2. Valitaan N=max{N1,N2}. Jos nyt n≥N, niin n≥N1 ja n≥N2, joten kolmioepäyhtälön (lemma 1.1.12) nojalla
eli limn→∞zn=z.
Edellinen tulos osoittaa, että kompleksinen lukujono suppenee jos ja vain jos sen reaali- ja imaginaariosat suppenevat. Tämän avulla saadaan johdettua helpohkosti seuraavat kompleksisten lukujonojen perustulokset. Yhteenvetona voidaan todeta, että kompleksiset ja reaaliset lukujonot käyttäytyvät hyvin samankaltaisesti. Merkittävin ero syntyy siitä, että kompleksiluvuille ei voida määritellä järjestysrelaatiota ≤, joten siihen perustuvia tuloksia ei voi käyttää suoraan vaan kompleksinen lukujono täytyy ensin palauttaa yhdeksi tai useammaksi reaaliseksi lukujonoksi.
Lause 5.1.5 (Raja-arvon laskusäännöt)
Jos lukujonojen (zn)∞n=0 ja (wn)∞n=0 raja-arvot limn→∞zn ja limn→∞wn ovat olemassa, niin
- limn→∞zn on yksikäsitteinen,
- limn→∞(βzn)=βlimn→∞zn aina, kun β∈C,
- limn→∞(zn+wn)=limn→∞zn+limn→∞wn,
- limn→∞znwn=limn→∞znlimn→∞wn
- limn→∞znwn=limn→∞znlimn→∞wn, jos wn≠0 aina, kun n∈N, ja limn→∞wn≠0.
Esimerkki 5.1.6
limn→∞(2−1n)+i(5+1n)=2+5i, koska
Re((2−1n)+i(5+1n))=2−1n→2,Im((2−1n)+i(5+1n))=5+1n→5,kun n→∞.
Lukujono ((14+i2)n)∞n=3 suppenee kohti nollaa, sillä
|(14+i2)n−0|=|14+i2|n=√116+14n=(√54)n→0,kun n→∞ (√5<4, vertaa esimerkkiin 5.1.3).
Lukujono
(einπ4)∞n=0=(cos(nπ4)+isin(nπ4))∞n=0ei suppene, sillä sen reaaliosa
(Re(einπ4))∞n=0=(cos(nπ4))∞n=0=(1,1√2,0,−1√2,−1,−1√2,0,1√2,1,…)ei suppene. Imaginaariosakaan ei suppene, mutta vain toisen hajaantuminen riittää kompleksisen jonon hajaantumiseen. Täsmällinen todistus sille, miksi tällä tavoin jaksollisesti arvojaan toistava lukujono ei suppene, perustuu sen osajonojen raja-arvojen tarkasteluun.
Raja-arvon laskusääntöjen ja tämän esimerkin ensimmäisten kohtien nojalla
limn→∞((14+i2)n+(2−1n)+i(5+1n))=limn→∞(14+i2)n+limn→∞((2−1n)+i(5+1n))=0+2+5i=2+5i.
Siirrytään sitten tutkimaan kompleksisten lukujonojen muodostamia sarjoja. Perusajatus on täsmälleen sama kuin reaalitermistenkin sarjojen tapauksessa: ääretön summa suppenee jos sen osasummien jono suppenee. Muutenkin huomataan, että kompleksitermisten sarjojen perusteoria on hyvin samanlaista kuin reaalitermistenkin. Jälleen suurimpana erona on järjestysrelaation puuttuminen kompleksiluvuilta. Esimerkiksi vertailuperiaate ei ole suoraan käytössä, mutta se on validi työkalu tutkittaessa esimerkiksi itseistäsuppenemista.
Määritelmä 5.1.7
Olkoon (zk)∞k=0 kompleksinen lukujono. Muodollista summaa
kutsutaan (kompleksitermiseksi) sarjaksi. Tässä zn on sarjan n:s termi ja n ensimmäisen termin summa
sarjan n:s osasumma. Sarja ∞∑k=0zk suppenee, jos sen osasummien jono
suppenee, ja tällöin raja-arvoa S=limn→∞Sn kutsutaan sarjan summaksi. Muussa tapauksessa sarja hajaantuu.
Huomautus 5.1.8
Koska summaus voidaan aloittaa myös muustakin indeksistä kuin nollasta, niin yllä termiä zn kutsutaan yksinkertaisuuden vuoksi n:ksi termiksi vaikka n viittaa oikeastaan vain indeksin arvoon. Esimerkiksi jos aloitetaan indeksointi nollasta niin termi on järjestyksessä n+1:nen ja jos aloitetaan kakkosesta niin se on n−1:nen. Termi z0 on siis nollas termi. Samat huomiot pätevät myös osasummien kohdalla.
Esimerkki 5.1.9
Tutkitaan kompleksisen sarjan ∞∑k=0ik suppenemista määritelmän avulla. Lasketaan havainnollisuuden vuoksi muutama ensimmäinen osasumma:
Huomataan, että osasummat toistavat arvoja 1, 1+i, i ja 0 jaksollisesti. Induktiolla voidaan osoittaa (harjoitustehtävä), että osasumma
Osoitetaan epäsuorasti, että osasummien jono (Sn)∞n=0 ei suppene. Jos Sn→S, kun n→∞, niin silloin myös jokainen osasummien jonon osajono (Snm)∞m=0 suppenee kohti samaa lukua S. Koska edellisen nojalla
niin 1=limm→∞S4m=S=limm→∞S4m+2=i. Tämä on ristiriita, joten sarja ∞∑k=0ik ei suppene.
Suppenevan sarjan lineaarisuus seuraa suoraan lukujonon raja-arvon laskusäännöistä.
Lause 5.1.10
Olkoot α ja β kompleksilukuja. Jos sarjat ∞∑k=0ak ja ∞∑k=0bk suppenevat summinaan S1 ja S2, niin tällöin
Hyödyntäen edellistä lausetta tai seuraavaa päättelyä voidaan osoittaa, että kompleksitermisen sarjan suppeneminen palautuu sen termien reaali- ja imaginaariosista muodostuvien sarjojen suppenemiseen. Sarjan ∞∑k=0zk, missä Re(zk)=xk ja Im(zk)=yk, k=0,1,2,… osasumma Sn voidaan kirjoittaa muodossa
missä Xn ja Yn ovat sarjojen ∞∑k=0xk ja ∞∑k=0yk osasummia. Nyt lauseen 5.1.4 nojalla (Sn)∞n=0 suppenee, jos ja vain jos jonot (Xn)∞n=0 ja (Yn)∞n=0 suppenevat, sekä
joten on todistettu seuraava lause.
Lause 5.1.11
Merkitään zk=xk+iyk reaaliluvuille xk ja yk aina, kun k∈N. Sarja ∞∑k=0zk suppenee, jos ja vain jos reaalitermiset sarjat ∞∑k=0xk ja ∞∑k=0yk suppenevat.
Esimerkki 5.1.12
Sarja ∞∑k=1(1√k+ik3) hajaantuu, koska reaalinen sarja
hajaantuu aliharmonisena sarjana. Ei riitä, että
suppenee yliharmonisena sarjana.
Reaalisten sarjojen hajaantumistesti voidaan laajentaa helposti kompleksitermisiin sarjoihin lauseen 5.1.11 avulla (harjoitustehtävä). Vertaa seuraavaa lauseen 8.2.7 muotoiluun.
Lemma 5.1.13
Jos kompleksinen sarja ∞∑k=0zk suppenee, niin zk→0, kun k→∞.
Huomautus 5.1.14
Lukujonon suppeneminen nollaan on sarjan suppenemisen välttämätön, mutta ei riittävä ehto. Sarjan ∞∑k=0zk suppenemiseen ei riitä vielä se, että zk→0, kun k→∞.
Esimerkki 5.1.15
Harmoninen sarja ∞∑k=11k hajaantuu, mutta sen termien lukujono 1k→0, kun k→∞.
Koska kompleksiluvuilla ei ole reaalilukujen kaltaista järjestysrelaatiota ≤, positiivitermisen tai vuorottelevan sarjan käsitteitä ei voi yleistää koskemaan kompleksitermisiä sarjoja. Sen sijaan kompleksilukujen itseisarvon avulla seuraava erittäin hyödyllinen määritelmä on mahdollinen.
Määritelmä 5.1.16
Kompleksiterminen sarja ∞∑k=0zk suppenee itseisesti, jos sarja ∞∑k=0|zk| suppenee.
Lemma 5.1.17
Jos kompleksiterminen sarja suppenee itseisesti, niin se suppenee.
Sarjan itseistä suppenemista voidaan tutkia tavalliseen tapaan reaalisilla suhde- ja juuritesteillä. Jos ∞∑k=0zk on kompleksiterminen sarja, niin ∞∑k=0|zk| on positiiviterminen sarja. Täten lauseen 8.2.10 tulokset ovat voimassa.
Esimerkki 5.1.18
Tutkitaan sarjan ∞∑k=1ikk itseistä suppenemista suhdetestillä. Koska raja-arvo
suhdetestin perusteella ei voida tehdä päätelmiä. Tarkemmalla silmäyksellä havaitaan, että itseisen suppenemisen määritelmään liittyvä sarja
on harmoninen, joten sarja ∞∑k=1ikk ei voi supeta itseisesti.
- Kompleksinen lukujono (zn)∞n=0 suppenee kohti lukua z, jos ja vain jos reaalinen lukujono (|zn−z|)∞n=0 suppenee kohti nollaa.
- Raja-arvon reaali- ja imaginaariosat ovat jonon termien reaali- ja imaginaariosien raja-arvot.
- Kompleksiterminen sarja on lukujonon osasummien jonon raja-arvo.
- Jos (zk)∞k=0 hajaantuu, niin ∞∑k=0zk hajaantuu.
- Jos ∞∑k=0zk suppenee itseisesti, niin se suppenee. Tämän vuoksi reaalisten sarjojen suhde- ja juuritestit sopivat sellaisinaan kompleksisten sarjojen suppenemisen tutkimiseen.