Processing math: 100%
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Kompleksitermiset sarjat

Tässä luvussa käydään läpi sarjaoppia kompleksiluvuilla. Tavoitteena ei ole syvällinen sarjateorian käsittely, vaan halutaan saada määritellyksi funktioiden tavallisimmat sarjaesitykset, eli Taylorin ja Laurentin sarjat, sekä antaa joitakin työkaluja niiden käsittelyyn. Tämän vuoksi osa haastavammista tuloksista esitetään ilman todistuksia ja keskitytään lähinnä sarjojen laskennalliseen puoleen, sekä annetaan niistä esimerkkejä. Sarjaesitykset antavat tietoa funktion lokaalista käyttäytymisestä, ja tätä hyödynnetään myöhemmin erikoispisteiden luokittelussa ja edelleen residylaskennan yhteydessä.

Vaikka esitys on pyritty pitämään minimaalisena, tulee sarjojen yhteydessä vastaan paljon erilaisia käsitteitä ja tuloksia. Tämä voi tuntua hämmentävältä. Monet asiat ovat kuitenkin jälleen tuttuja reaalisten sarjojen puolelta ja perustekniikat sarjojen käsittelyssä ovat samanlaisia. Kertaus oleellisista reaalitermisten sarjojen puolelta löytyy liiteluvusta. Kun peruskäsitteet ja sarjoihin liittyvä laskenta tulee hiukan tutuksi, ei asia lopulta ole kovin hankalaa (ainakaan tässä vaaditulla tasolla).

Seuraavaksi siirrytään käsittelemään kompleksisten lukujonojen ja erityisesti sarjojen teoriaa. Totuttuun tapaan tämäkin perustuu reaalianalyysiin.

Määritelmä 5.1.1

Kompleksinen (päättymätön) lukujono (zn)n=0 on funktio NC, jossa nzn. Sitä merkitään myös päättymättömänä listana

(zn)n=0=(z0,z1,z2,).

Oletetaan, että zC. Lukujono (zn)n=0 suppenee kohti lukua z, jos jokaista ϵ>0 kohti löytyy sellainen luonnollinen luku N, että

josnN,niin|znz|<ϵ.

Tällöin merkitään

limnzn=ztaiznz, kun n.

Lukujono (zn)n=0 suppenee, jos edellä kuvattu z on olemassa. Muulloin se hajaantuu.

../_images/Suppeneminen.svg

Kuva 5.1.1. Lukujonon supetessa sen termit lähestyvät toisiaan.

Lukujonon suppenemista kompleksitasossa voidaan havainnollistaa kuten kuvassa 5.1.1. Siniset pisteet edustavat lukujonon termejä, ja ne lähestyvät toisiaan samalla kun niitä pitkin liikutaan lähemmäksi raja-arvoa.

Esimerkki 5.1.2

  1. Funktio f:Z+C,

    f(n)=(21n)+i(5+1n)

    määrittelee lukujonon

    ((21n)+i(5+1n))n=1.

    Huomaa indeksoinnin välttämätön aloitus luvusta 1. Lukujonon ensimmäiset neljä termiä ovat

    1+6i,32+112i,53+163i,ja74+214i.
  2. Lukujonossa

    ((14+i2)n)n=3

    indeksointi alkaa (ilman pakollista syytä) luvusta 3. Lukujonon kolme ensimmäistä termiä ovat

    132+1164i,7256+332i,ja19512+411024i.
  3. Lukujonon

    (einπ4)n=0=(cos(nπ4)+isin(nπ4))n=0

    termit toistavat sykliä

    1, 12+12i, i, 12+12i, 1, 1212i, i, 1212i, 1,

    Osaatko sanoa suppeneeko tämä lukujono?

Kompleksisen lukujonon (zn)n=0 suppeneminen kohti lukua z palautuu reaalisen lukujonon (|znz|)n=0 suppenemiseen. Jos nimittäin jono (zn)n=0 suppenee kohti lukua z, niin yhtäpitävästi |znz|0, kun n (vertaa funktion raja-arvon luonnehdintaan).

Esimerkki 5.1.3

Jos kompleksiluku α toteuttaa ehdon |α|<1, niin lukujono (αn)n=0 suppenee kohti nollaa. Nimittäin

|αn0|=|α|n0, kun n,

sillä reaaliluvulle 0a<1 on voimassa an0 kun n.

Kuten funktion raja-arvo, myös kompleksisen lukujonon raja-arvo palautuu reaali- ja imaginaariosien raja-arvoihin.

Lause 5.1.4

Merkitään zn=xn+iyn reaaliluvuille xn ja yn aina, kun nN. Lukujono (zn)n=0 suppenee kohti kompleksilukua z=x+iy, missä x,yR, jos ja vain jos xnx ja yny, kun n.

Todistus

Olkoon ϵ>0. Oletetaan ensin, että limnzn=z ja että valittua lukua ϵ vastaa raja-arvon määrittelevän ehdon toteuttava luonnollinen luku N. Osoitetaan reaaliosien jonoa (xn)n=0 koskeva osa väitteestä, ja käytetään todistuksessa samaa lukua N kuin edellä. Jos nimittäin nN, niin oletuksen nojalla

|xnx|=(xnx)2(xnx)2+(yny)2=|znz|<ϵ,

eli limnxn=x. Imaginaariosien jonoa (yn)n=0 koskeva väite todistetaan vastaavasti.

Oletetaan sitten, että limnxn=x ja limnyn=y ja että valittua lukua ϵ vastaa raja-arvot määrittelevät ehdot toteuttavat luonnolliset luvut N1 ja N2. Valitaan N=max{N1,N2}. Jos nyt nN, niin nN1 ja nN2, joten kolmioepäyhtälön (lemma 1.1.12) nojalla

|znz|=|(xnx)+i(yny)||xnx|+|yny|<ϵ+ϵ=2ϵ,

eli limnzn=z.

Edellinen tulos osoittaa, että kompleksinen lukujono suppenee jos ja vain jos sen reaali- ja imaginaariosat suppenevat. Tämän avulla saadaan johdettua helpohkosti seuraavat kompleksisten lukujonojen perustulokset. Yhteenvetona voidaan todeta, että kompleksiset ja reaaliset lukujonot käyttäytyvät hyvin samankaltaisesti. Merkittävin ero syntyy siitä, että kompleksiluvuille ei voida määritellä järjestysrelaatiota , joten siihen perustuvia tuloksia ei voi käyttää suoraan vaan kompleksinen lukujono täytyy ensin palauttaa yhdeksi tai useammaksi reaaliseksi lukujonoksi.

Lause 5.1.5 (Raja-arvon laskusäännöt)

Jos lukujonojen (zn)n=0 ja (wn)n=0 raja-arvot limnzn ja limnwn ovat olemassa, niin

  1. limnzn on yksikäsitteinen,
  2. limn(βzn)=βlimnzn aina, kun βC,
  3. limn(zn+wn)=limnzn+limnwn,
  4. limnznwn=limnznlimnwn
  5. limnznwn=limnznlimnwn, jos wn0 aina, kun nN, ja limnwn0.

Esimerkki 5.1.6

  1. limn(21n)+i(5+1n)=2+5i, koska

    Re((21n)+i(5+1n))=21n2,Im((21n)+i(5+1n))=5+1n5,

    kun n.

  2. Lukujono ((14+i2)n)n=3 suppenee kohti nollaa, sillä

    |(14+i2)n0|=|14+i2|n=116+14n=(54)n0,

    kun n (5<4, vertaa esimerkkiin 5.1.3).

  3. Lukujono

    (einπ4)n=0=(cos(nπ4)+isin(nπ4))n=0

    ei suppene, sillä sen reaaliosa

    (Re(einπ4))n=0=(cos(nπ4))n=0=(1,12,0,12,1,12,0,12,1,)

    ei suppene. Imaginaariosakaan ei suppene, mutta vain toisen hajaantuminen riittää kompleksisen jonon hajaantumiseen. Täsmällinen todistus sille, miksi tällä tavoin jaksollisesti arvojaan toistava lukujono ei suppene, perustuu sen osajonojen raja-arvojen tarkasteluun.

  4. Raja-arvon laskusääntöjen ja tämän esimerkin ensimmäisten kohtien nojalla

    limn((14+i2)n+(21n)+i(5+1n))=limn(14+i2)n+limn((21n)+i(5+1n))=0+2+5i=2+5i.

Siirrytään sitten tutkimaan kompleksisten lukujonojen muodostamia sarjoja. Perusajatus on täsmälleen sama kuin reaalitermistenkin sarjojen tapauksessa: ääretön summa suppenee jos sen osasummien jono suppenee. Muutenkin huomataan, että kompleksitermisten sarjojen perusteoria on hyvin samanlaista kuin reaalitermistenkin. Jälleen suurimpana erona on järjestysrelaation puuttuminen kompleksiluvuilta. Esimerkiksi vertailuperiaate ei ole suoraan käytössä, mutta se on validi työkalu tutkittaessa esimerkiksi itseistäsuppenemista.

Määritelmä 5.1.7

Olkoon (zk)k=0 kompleksinen lukujono. Muodollista summaa

k=0zk=z0+z1+z2+

kutsutaan (kompleksitermiseksi) sarjaksi. Tässä zn on sarjan n:s termi ja n ensimmäisen termin summa

Sn=nk=0zk=z0+z1+z2++zn

sarjan n:s osasumma. Sarja k=0zk suppenee, jos sen osasummien jono

(Sn)n=0=(S0,S1,S2,)

suppenee, ja tällöin raja-arvoa S=limnSn kutsutaan sarjan summaksi. Muussa tapauksessa sarja hajaantuu.

Huomautus 5.1.8

Koska summaus voidaan aloittaa myös muustakin indeksistä kuin nollasta, niin yllä termiä zn kutsutaan yksinkertaisuuden vuoksi n:ksi termiksi vaikka n viittaa oikeastaan vain indeksin arvoon. Esimerkiksi jos aloitetaan indeksointi nollasta niin termi on järjestyksessä n+1:nen ja jos aloitetaan kakkosesta niin se on n1:nen. Termi z0 on siis nollas termi. Samat huomiot pätevät myös osasummien kohdalla.

Esimerkki 5.1.9

Tutkitaan kompleksisen sarjan k=0ik suppenemista määritelmän avulla. Lasketaan havainnollisuuden vuoksi muutama ensimmäinen osasumma:

S0=0k=0ik=i0=1S1=1k=0ik=i0+i1=1+iS2=2k=0ik=i0+i1+i2=1+i1=iS3=3k=0ik=i0+i1+i2+i3=1+i1i=0S4=4k=0ik=i0+i1+i2+i3+i4=1+i1i+1=1.

Huomataan, että osasummat toistavat arvoja 1, 1+i, i ja 0 jaksollisesti. Induktiolla voidaan osoittaa (harjoitustehtävä), että osasumma

Sn={1,jos k0(mod4)1+i,jos k1(mod4)i,jos k2(mod4)0,jos k3(mod4).

Osoitetaan epäsuorasti, että osasummien jono (Sn)n=0 ei suppene. Jos SnS, kun n, niin silloin myös jokainen osasummien jonon osajono (Snm)m=0 suppenee kohti samaa lukua S. Koska edellisen nojalla

(S4m)m=0=(1,1,1,)ja(S4m+2)m=0=(i,i,i,),

niin 1=limmS4m=S=limmS4m+2=i. Tämä on ristiriita, joten sarja k=0ik ei suppene.

Suppenevan sarjan lineaarisuus seuraa suoraan lukujonon raja-arvon laskusäännöistä.

Lause 5.1.10

Olkoot α ja β kompleksilukuja. Jos sarjat k=0ak ja k=0bk suppenevat summinaan S1 ja S2, niin tällöin

k=0(αak+βbk)=αS1+βS2.

Hyödyntäen edellistä lausetta tai seuraavaa päättelyä voidaan osoittaa, että kompleksitermisen sarjan suppeneminen palautuu sen termien reaali- ja imaginaariosista muodostuvien sarjojen suppenemiseen. Sarjan k=0zk, missä Re(zk)=xk ja Im(zk)=yk, k=0,1,2, osasumma Sn voidaan kirjoittaa muodossa

Sn=nk=0zk=nk=0(xk+iyk)=nk=0xk+ink=0yk=Xn+iYn,

missä Xn ja Yn ovat sarjojen k=0xk ja k=0yk osasummia. Nyt lauseen 5.1.4 nojalla (Sn)n=0 suppenee, jos ja vain jos jonot (Xn)n=0 ja (Yn)n=0 suppenevat, sekä

limnSn=limnXn+ilimnYn,

joten on todistettu seuraava lause.

Lause 5.1.11

Merkitään zk=xk+iyk reaaliluvuille xk ja yk aina, kun kN. Sarja k=0zk suppenee, jos ja vain jos reaalitermiset sarjat k=0xk ja k=0yk suppenevat.

Esimerkki 5.1.12

Sarja k=1(1k+ik3) hajaantuu, koska reaalinen sarja

k=1Re(1k+ik3)=k=11k

hajaantuu aliharmonisena sarjana. Ei riitä, että

k=1Im(1k+ik3)=k=11k3

suppenee yliharmonisena sarjana.

Reaalisten sarjojen hajaantumistesti voidaan laajentaa helposti kompleksitermisiin sarjoihin lauseen 5.1.11 avulla (harjoitustehtävä). Vertaa seuraavaa lauseen 8.2.7 muotoiluun.

Lemma 5.1.13

Jos kompleksinen sarja k=0zk suppenee, niin zk0, kun k.

Huomautus 5.1.14

Lukujonon suppeneminen nollaan on sarjan suppenemisen välttämätön, mutta ei riittävä ehto. Sarjan k=0zk suppenemiseen ei riitä vielä se, että zk0, kun k.

Esimerkki 5.1.15

Harmoninen sarja k=11k hajaantuu, mutta sen termien lukujono 1k0, kun k.

Koska kompleksiluvuilla ei ole reaalilukujen kaltaista järjestysrelaatiota , positiivitermisen tai vuorottelevan sarjan käsitteitä ei voi yleistää koskemaan kompleksitermisiä sarjoja. Sen sijaan kompleksilukujen itseisarvon avulla seuraava erittäin hyödyllinen määritelmä on mahdollinen.

Määritelmä 5.1.16

Kompleksiterminen sarja k=0zk suppenee itseisesti, jos sarja k=0|zk| suppenee.

Lemma 5.1.17

Jos kompleksiterminen sarja suppenee itseisesti, niin se suppenee.

Todistus
Jos sarja k=0|zk| suppenee, sekä Re(zk)=xk ja Im(zk)=yk, k=0,1,2,, niin majoranttiperiaatteen nojalla myös sarjat k=0|xk| ja k=0|yk| suppenevat, sillä |xk||zk| ja |yk||zk| kaikille k=0,1,2,. Siis reaaliset sarjat k=0xk ja k=0yk suppenevat itseisesti, ja siten suppenevat. Nyt väite seuraa lauseesta 5.1.11.

Sarjan itseistä suppenemista voidaan tutkia tavalliseen tapaan reaalisilla suhde- ja juuritesteillä. Jos k=0zk on kompleksiterminen sarja, niin k=0|zk| on positiiviterminen sarja. Täten lauseen 8.2.10 tulokset ovat voimassa.

Esimerkki 5.1.18

Tutkitaan sarjan k=1ikk itseistä suppenemista suhdetestillä. Koska raja-arvo

limk|ik+1/(k+1)ik/k|=limkkk+1=limk11+1/k=1,

suhdetestin perusteella ei voida tehdä päätelmiä. Tarkemmalla silmäyksellä havaitaan, että itseisen suppenemisen määritelmään liittyvä sarja

k=1|ikk|=k=11k

on harmoninen, joten sarja k=1ikk ei voi supeta itseisesti.

  • Kompleksinen lukujono (zn)n=0 suppenee kohti lukua z, jos ja vain jos reaalinen lukujono (|znz|)n=0 suppenee kohti nollaa.
  • Raja-arvon reaali- ja imaginaariosat ovat jonon termien reaali- ja imaginaariosien raja-arvot.
  • Kompleksiterminen sarja on lukujonon osasummien jonon raja-arvo.
  • Jos (zk)k=0 hajaantuu, niin k=0zk hajaantuu.
  • Jos k=0zk suppenee itseisesti, niin se suppenee. Tämän vuoksi reaalisten sarjojen suhde- ja juuritestit sopivat sellaisinaan kompleksisten sarjojen suppenemisen tutkimiseen.
Palautusta lähetetään...