\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Kompleksitermiset sarjat¶

Tässä luvussa käydään läpi sarjaoppia kompleksiluvuilla. Tavoitteena ei ole syvällinen sarjateorian käsittely, vaan halutaan saada määritellyksi funktioiden tavallisimmat sarjaesitykset, eli Taylorin ja Laurentin sarjat, sekä antaa joitakin työkaluja niiden käsittelyyn. Tämän vuoksi osa haastavammista tuloksista esitetään ilman todistuksia ja keskitytään lähinnä sarjojen laskennalliseen puoleen, sekä annetaan niistä esimerkkejä. Sarjaesitykset antavat tietoa funktion lokaalista käyttäytymisestä, ja tätä hyödynnetään myöhemmin erikoispisteiden luokittelussa ja edelleen residylaskennan yhteydessä.

Vaikka esitys on pyritty pitämään minimaalisena, tulee sarjojen yhteydessä vastaan paljon erilaisia käsitteitä ja tuloksia. Tämä voi tuntua hämmentävältä. Monet asiat ovat kuitenkin jälleen tuttuja reaalisten sarjojen puolelta ja perustekniikat sarjojen käsittelyssä ovat samanlaisia. Kertaus oleellisista reaalitermisten sarjojen puolelta löytyy liiteluvusta. Kun peruskäsitteet ja sarjoihin liittyvä laskenta tulee hiukan tutuksi, ei asia lopulta ole kovin hankalaa (ainakaan tässä vaaditulla tasolla).

Seuraavaksi siirrytään käsittelemään kompleksisten lukujonojen ja erityisesti sarjojen teoriaa. Totuttuun tapaan tämäkin perustuu reaalianalyysiin.

Määritelmä 5.1.1

Kompleksinen (päättymätön) lukujono \((z_n)_{n = 0}^{\infty}\) on funktio \(\N \to \C\), jossa \(n \mapsto z_n\). Sitä merkitään myös päättymättömänä listana

\[(z_n)_{n = 0}^{\infty} = (z_0, z_1, z_2, \ldots).\]

Oletetaan, että \(z \in \C\). Lukujono \((z_n)_{n = 0}^{\infty}\) suppenee kohti lukua \(z\), jos jokaista \(\epsilon > 0\) kohti löytyy sellainen luonnollinen luku \(N\), että

\[\text{jos}\qquad n \geq N, \qquad\text{niin}\qquad |z_n - z| < \epsilon.\]

Tällöin merkitään

\[\lim_{n \to \infty}z_n = z \qquad\text{tai}\qquad z_n \to z, \text{ kun } n \to \infty.\]

Lukujono \((z_n)_{n = 0}^{\infty}\) suppenee, jos edellä kuvattu \(z\) on olemassa. Muulloin se hajaantuu.

Kuva 5.1.1. Lukujonon supetessa sen termit lähestyvät toisiaan.

Lukujonon suppenemista kompleksitasossa voidaan havainnollistaa kuten kuvassa 5.1.1. Siniset pisteet edustavat lukujonon termejä, ja ne lähestyvät toisiaan samalla kun niitä pitkin liikutaan lähemmäksi raja-arvoa.

Esimerkki 5.1.2

Funktio \(f : \Z_+ \to \C\),

\[f(n)=\left(2-\frac{1}{n}\right)+\im\left(5+\frac{1}{n}\right)\]

määrittelee lukujonon

\[\left(\left(2-\frac{1}{n}\right)+\im\left(5+\frac{1}{n}\right)\right)_{n=1}^\infty.\]

Huomaa indeksoinnin välttämätön aloitus luvusta \(1\). Lukujonon ensimmäiset neljä termiä ovat

\[1+6\im,\qquad \frac{3}{2}+\frac{11}{2}\im,\qquad \frac{5}{3}+\frac{16}{3}\im,\qquad\text{ja}\qquad \frac{7}{4}+\frac{21}{4}\im.\]
Lukujonossa

\[\left(\left(\frac{1}{4}+\frac{\im}{2}\right)^n\right)_{n=3}^\infty\]

indeksointi alkaa (ilman pakollista syytä) luvusta \(3\). Lukujonon kolme ensimmäistä termiä ovat

\[\frac{1}{32} + \frac{11}{64}\im,\qquad \frac{-7}{256} + \frac{3}{32}\im, \qquad\text{ja}\qquad \frac{-19}{512} + \frac{41}{1024}\im.\]
Lukujonon

\[\left(\e^{\im n\frac{\pi}{4}}\right)_{n = 0}^{\infty} = \left(\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)+\im\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)\right)_{n = 0}^{\infty}\]

termit toistavat sykliä

\[1, \ \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\im,\ \im, \ -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\im,\ -1,\ -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\im,\ -\im,\ \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\im,\ 1,\ldots\]

Osaatko sanoa suppeneeko tämä lukujono?

Kompleksisen lukujonon \((z_n)_{n = 0}^{\infty}\) suppeneminen kohti lukua \(z\) palautuu reaalisen lukujonon \((|z_n - z|)_{n = 0}^{\infty}\) suppenemiseen. Jos nimittäin jono \((z_n)_{n = 0}^{\infty}\) suppenee kohti lukua \(z\), niin yhtäpitävästi \(|z_n - z| \to 0\), kun \(n \to \infty\) (vertaa funktion raja-arvon luonnehdintaan).

Esimerkki 5.1.3

Jos kompleksiluku \(\alpha\) toteuttaa ehdon \(|\alpha|<1\), niin lukujono \(\left(\alpha^n\right)_{n = 0}^{\infty}\) suppenee kohti nollaa. Nimittäin

\[|\alpha^n-0|=|\alpha|^n \to 0, \text{ kun } n\to\infty,\]

sillä reaaliluvulle \(0 \leq a < 1\) on voimassa \(a^n\to 0\) kun \(n\to\infty\).

Kuten funktion raja-arvo, myös kompleksisen lukujonon raja-arvo palautuu reaali- ja imaginaariosien raja-arvoihin.

Lause 5.1.4

Merkitään \(z_n = x_n + \im y_n\) reaaliluvuille \(x_n\) ja \(y_n\) aina, kun \(n \in \N\). Lukujono \((z_n)_{n=0}^\infty\) suppenee kohti kompleksilukua \(z = x + \im y\), missä \(x, y \in \R\), jos ja vain jos \(x_n\to x\) ja \(y_n\to y\), kun \(n \to \infty\).

Todistus

Olkoon \(\epsilon > 0\). Oletetaan ensin, että \(\lim\limits_{n \to \infty}z_n = z\) ja että valittua lukua \(\epsilon\) vastaa raja-arvon määrittelevän ehdon toteuttava luonnollinen luku \(N\). Osoitetaan reaaliosien jonoa \((x_n)_{n = 0}^{\infty}\) koskeva osa väitteestä, ja käytetään todistuksessa samaa lukua \(N\) kuin edellä. Jos nimittäin \(n \geq N\), niin oletuksen nojalla

\[|x_n-x|=\sqrt{(x_n-x)^2}\leq \sqrt{(x_n-x)^2+(y_n-y)^2}=|z_n-z| < \epsilon,\]

eli \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n = x\). Imaginaariosien jonoa \((y_n)_{n = 0}^{\infty}\) koskeva väite todistetaan vastaavasti.

Oletetaan sitten, että \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x\) ja \(\lim\limits_{n \to \infty} y_n = y\) ja että valittua lukua \(\epsilon\) vastaa raja-arvot määrittelevät ehdot toteuttavat luonnolliset luvut \(N_1\) ja \(N_2\). Valitaan \(N = \max\{N_1, N_2\}\). Jos nyt \(n \geq N\), niin \(n \geq N_1\) ja \(n \geq N_2\), joten kolmioepäyhtälön (lemma 1.1.12) nojalla

\[|z_n-z|=|(x_n-x)+\im (y_n-y)|\leq |x_n-x|+|y_n-y| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon,\]

eli \(\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z\).

Edellinen tulos osoittaa, että kompleksinen lukujono suppenee jos ja vain jos sen reaali- ja imaginaariosat suppenevat. Tämän avulla saadaan johdettua helpohkosti seuraavat kompleksisten lukujonojen perustulokset. Yhteenvetona voidaan todeta, että kompleksiset ja reaaliset lukujonot käyttäytyvät hyvin samankaltaisesti. Merkittävin ero syntyy siitä, että kompleksiluvuille ei voida määritellä järjestysrelaatiota \(\leq\), joten siihen perustuvia tuloksia ei voi käyttää suoraan vaan kompleksinen lukujono täytyy ensin palauttaa yhdeksi tai useammaksi reaaliseksi lukujonoksi.

Lause 5.1.5 (Raja-arvon laskusäännöt)

Jos lukujonojen \((z_n)_{n = 0}^{\infty}\) ja \((w_n)_{n = 0}^{\infty}\) raja-arvot \(\lim\limits_{n\to \infty} z_n\) ja \(\lim\limits_{n \to \infty} w_n\) ovat olemassa, niin

\(\lim\limits_{n \to \infty} z_n\) on yksikäsitteinen,
\(\lim\limits_{n \to \infty} (\beta z_n)=\beta \lim\limits_{n \to \infty} z_n\) aina, kun \(\beta\in\C\),
\(\lim\limits_{n \to \infty} (z_n + w_n)=\lim\limits_{n \to \infty} z_n+\lim\limits_{n \to \infty} w_n\),
\(\lim\limits_{n \to \infty} z_nw_n=\lim\limits_{n \to \infty} z_n \lim\limits_{n \to \infty} w_n\)
\(\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty} \frac{z_n}{w_n}=\frac{\lim\limits_{n \to \infty} z_n}{\lim\limits_{n \to \infty} w_n}\), jos \(w_n \not= 0\) aina, kun \(n \in \N\), ja \(\lim\limits_{n \to \infty} w_n \neq 0\).

Esimerkki 5.1.6

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(2-\frac{1}{n}\right)+\im\left(5+\frac{1}{n}\right)=2+5\im\), koska

\[\begin{split}\begin{aligned} \real\left(\left(2-\frac{1}{n}\right)+\im\left(5+\frac{1}{n}\right)\right)=2-\frac{1}{n}\to 2,\\ \imag\left(\left(2-\frac{1}{n}\right)+\im\left(5+\frac{1}{n}\right)\right)=5+\frac{1}{n}\to 5, \end{aligned}\end{split}\]

kun \(n \to \infty\).
Lukujono \(\displaystyle\left(\left(\frac{1}{4}+\frac{\im}{2}\right)^n\right)_{n=3}^\infty\) suppenee kohti nollaa, sillä

\[\left|\left(\frac{1}{4}+\frac{\im}{2}\right)^n-0\right|=\left|\frac{1}{4}+\frac{\im}{2}\right|^n=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}}^n=\left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^n\to 0,\]

kun \(n \to \infty\) (\(\sqrt{5} < 4\), vertaa esimerkkiin 5.1.3).
Lukujono

\[\left(\e^{\im n\frac{\pi}{4}}\right)_{n = 0}^{\infty} = \left(\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)+\im\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)\right)_{n = 0}^{\infty}\]

ei suppene, sillä sen reaaliosa

\[\left(\real\left(\e^{\im n\frac{\pi}{4}}\right)\right)_{n = 0}^{\infty} = \left(\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)\right)_{n = 0}^{\infty} = \left(1, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, -1, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 1, \ldots\right)\]

ei suppene. Imaginaariosakaan ei suppene, mutta vain toisen hajaantuminen riittää kompleksisen jonon hajaantumiseen. Täsmällinen todistus sille, miksi tällä tavoin jaksollisesti arvojaan toistava lukujono ei suppene, perustuu sen osajonojen raja-arvojen tarkasteluun.
Raja-arvon laskusääntöjen ja tämän esimerkin ensimmäisten kohtien nojalla

\[\begin{split}\begin{aligned} &\lim_{n\to \infty} \left(\left(\frac{1}{4}+\frac{\im}{2}\right)^n+\left(2-\frac{1}{n}\right)+\im\left(5+\frac{1}{n}\right)\right) \\ &= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{4} + \frac{\im}{2}\right)^n + \lim_{n \to \infty}\left(\left(2 - \frac{1}{n}\right) + \im\left(5 + \frac{1}{n}\right)\right) \\ &=0 + 2+5\im = 2 + 5\im. \end{aligned}\end{split}\]

Siirrytään sitten tutkimaan kompleksisten lukujonojen muodostamia sarjoja. Perusajatus on täsmälleen sama kuin reaalitermistenkin sarjojen tapauksessa: ääretön summa suppenee jos sen osasummien jono suppenee. Muutenkin huomataan, että kompleksitermisten sarjojen perusteoria on hyvin samanlaista kuin reaalitermistenkin. Jälleen suurimpana erona on järjestysrelaation puuttuminen kompleksiluvuilta. Esimerkiksi vertailuperiaate ei ole suoraan käytössä, mutta se on validi työkalu tutkittaessa esimerkiksi itseistäsuppenemista.

Määritelmä 5.1.7

Olkoon \((z_k)_{k = 0}^{\infty}\) kompleksinen lukujono. Muodollista summaa

\[\sum_{k = 0}^{\infty}z_k = z_0 + z_1 + z_2 + \cdots\]

kutsutaan (kompleksitermiseksi) sarjaksi. Tässä \(z_n\) on sarjan \(n\):s termi ja \(n\) ensimmäisen termin summa

\[S_n = \sum_{k = 0}^{n}z_k = z_0 + z_1 + z_2 + \cdots + z_n\]

sarjan \(n\):s osasumma. Sarja \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}z_k\) suppenee, jos sen osasummien jono

\[(S_n)_{n = 0}^{\infty} = \left(S_0, S_1, S_2, \ldots\right)\]

suppenee, ja tällöin raja-arvoa \(S = \lim\limits_{n \to \infty}S_n\) kutsutaan sarjan summaksi. Muussa tapauksessa sarja hajaantuu.

Huomautus 5.1.8

Koska summaus voidaan aloittaa myös muustakin indeksistä kuin nollasta, niin yllä termiä \(z_n\) kutsutaan yksinkertaisuuden vuoksi \(n\):ksi termiksi vaikka \(n\) viittaa oikeastaan vain indeksin arvoon. Esimerkiksi jos aloitetaan indeksointi nollasta niin termi on järjestyksessä \(n+1\):nen ja jos aloitetaan kakkosesta niin se on \(n-1\):nen. Termi \(z_0\) on siis nollas termi. Samat huomiot pätevät myös osasummien kohdalla.

Esimerkki 5.1.9

Tutkitaan kompleksisen sarjan \(\sum\limits_{k=0}^\infty \im^k\) suppenemista määritelmän avulla. Lasketaan havainnollisuuden vuoksi muutama ensimmäinen osasumma:

\[\begin{split}\begin{aligned} S_0 &=\sum_{k=0}^0\im^k=\im^0=1\\ S_1 &=\sum_{k=0}^1\im^k=\im^0+\im^1=1+\im\\ S_2 &=\sum_{k=0}^2\im^k=\im^0+\im^1+\im^2=1+\im-1=\im\\ S_3 &=\sum_{k=0}^3\im^k=\im^0+\im^1+\im^2+\im^3=1+\im-1-\im=0\\ S_4 &=\sum_{k=0}^4\im^k=\im^0+\im^1+\im^2+\im^3+\im^4=1+\im-1-\im+1=1. \end{aligned}\end{split}\]

Huomataan, että osasummat toistavat arvoja \(1\), \(1+\im\), \(\im\) ja \(0\) jaksollisesti. Induktiolla voidaan osoittaa (harjoitustehtävä), että osasumma

\[\begin{split}S_n =\begin{cases} 1, & \text{jos } k \equiv 0 \pmod{4} \\ 1+\im, & \text{jos } k \equiv 1 \pmod{4} \\ \im, & \text{jos } k \equiv 2 \pmod{4}\\ 0, & \text{jos } k \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases}\end{split}\]

Osoitetaan epäsuorasti, että osasummien jono \((S_n)_{n = 0}^{\infty}\) ei suppene. Jos \(S_n \to S\), kun \(n \to \infty\), niin silloin myös jokainen osasummien jonon osajono \((S_{n_m})_{m = 0}^{\infty}\) suppenee kohti samaa lukua \(S\). Koska edellisen nojalla

\[(S_{4m})_{m = 0}^{\infty} = (1, 1, 1, \ldots) \qquad\text{ja}\qquad (S_{4m + 2})_{m = 0}^{\infty} = (\im, \im, \im, \ldots),\]

niin \(1 = \lim\limits_{m \to \infty}S_{4m} = S = \lim\limits_{m \to \infty}S_{4m + 2} = \im\). Tämä on ristiriita, joten sarja \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}\im^k\) ei suppene.

Suppenevan sarjan lineaarisuus seuraa suoraan lukujonon raja-arvon laskusäännöistä.

Lause 5.1.10

Olkoot \(\alpha\) ja \(\beta\) kompleksilukuja. Jos sarjat \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k\) ja \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}b_k\) suppenevat summinaan \(S_1\) ja \(S_2\), niin tällöin

\[\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(\alpha a_k + \beta b_k)=\alpha S_1 + \beta S_2.\]

Hyödyntäen edellistä lausetta tai seuraavaa päättelyä voidaan osoittaa, että kompleksitermisen sarjan suppeneminen palautuu sen termien reaali- ja imaginaariosista muodostuvien sarjojen suppenemiseen. Sarjan \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}z_k\), missä \(\real(z_k) = x_k\) ja \(\imag(z_k) = y_k\), \(k = 0, 1, 2, \ldots\) osasumma \(S_n\) voidaan kirjoittaa muodossa

\[S_n=\sum_{k=0}^n z_k=\sum_{k=0}^n (x_k+\im y_k)=\sum_{k=0}^n x_k+\im \sum_{k=0}^n y_k=X_n+\im Y_n,\]

missä \(X_n\) ja \(Y_n\) ovat sarjojen \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}x_k\) ja \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}y_k\) osasummia. Nyt lauseen 5.1.4 nojalla \((S_n)_{n = 0}^{\infty}\) suppenee, jos ja vain jos jonot \((X_n)_{n = 0}^{\infty}\) ja \((Y_n)_{n = 0}^{\infty}\) suppenevat, sekä

\[\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} X_n + \im \lim_{n\to\infty} Y_n,\]

joten on todistettu seuraava lause.

Lause 5.1.11

Merkitään \(z_k = x_k + \im y_k\) reaaliluvuille \(x_k\) ja \(y_k\) aina, kun \(k \in \N\). Sarja \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}z_k\) suppenee, jos ja vain jos reaalitermiset sarjat \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}x_k\) ja \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}y_k\) suppenevat.

Esimerkki 5.1.12

Sarja \(\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{\im}{k^3}\right)\) hajaantuu, koska reaalinen sarja

\[\sum_{k = 1}^{\infty}\real\left(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{\im}{k^3}\right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{k}}\]

hajaantuu aliharmonisena sarjana. Ei riitä, että

\[\sum_{k = 1}^{\infty}\imag\left(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{\im}{k^3}\right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3}\]

suppenee yliharmonisena sarjana.

Reaalisten sarjojen hajaantumistesti voidaan laajentaa helposti kompleksitermisiin sarjoihin lauseen 5.1.11 avulla (harjoitustehtävä). Vertaa seuraavaa lauseen 8.2.7 muotoiluun.

Lemma 5.1.13

Jos kompleksinen sarja \(\sum\limits_{k=0}^\infty z_k\) suppenee, niin \(z_k \to 0\), kun \(k \to \infty\).

Huomautus 5.1.14

Lukujonon suppeneminen nollaan on sarjan suppenemisen välttämätön, mutta ei riittävä ehto. Sarjan \(\sum\limits_{k=0}^\infty z_k\) suppenemiseen ei riitä vielä se, että \(z_k\to 0\), kun \(k\to\infty\).

Esimerkki 5.1.15

Harmoninen sarja \(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\) hajaantuu, mutta sen termien lukujono \(\frac{1}{k}\to 0\), kun \(k\to\infty\).

Koska kompleksiluvuilla ei ole reaalilukujen kaltaista järjestysrelaatiota \(\leq\), positiivitermisen tai vuorottelevan sarjan käsitteitä ei voi yleistää koskemaan kompleksitermisiä sarjoja. Sen sijaan kompleksilukujen itseisarvon avulla seuraava erittäin hyödyllinen määritelmä on mahdollinen.

Määritelmä 5.1.16

Kompleksiterminen sarja \(\sum\limits_{k=0}^\infty z_k\) suppenee itseisesti, jos sarja \(\sum\limits_{k=0}^\infty |z_k|\) suppenee.

Lemma 5.1.17

Jos kompleksiterminen sarja suppenee itseisesti, niin se suppenee.

Todistus

Jos sarja \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}|z_k|\) suppenee, sekä \(\real(z_k) = x_k\) ja \(\imag(z_k) = y_k\), \(k = 0, 1, 2, \ldots\), niin majoranttiperiaatteen nojalla myös sarjat \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}|x_k|\) ja \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}|y_k|\) suppenevat, sillä \(|x_k| \leq |z_k|\) ja \(|y_k| \leq |z_k|\) kaikille \(k = 0, 1, 2, \ldots\). Siis reaaliset sarjat \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}x_k\) ja \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}y_k\) suppenevat itseisesti, ja siten suppenevat. Nyt väite seuraa lauseesta 5.1.11.

Sarjan itseistä suppenemista voidaan tutkia tavalliseen tapaan reaalisilla suhde- ja juuritesteillä. Jos \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}z_k\) on kompleksiterminen sarja, niin \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}|z_k|\) on positiiviterminen sarja. Täten lauseen 8.2.10 tulokset ovat voimassa.

Esimerkki 5.1.18

Tutkitaan sarjan \(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\im^k}{k}\) itseistä suppenemista suhdetestillä. Koska raja-arvo

\[\lim_{k \to \infty}\left|\frac{\im^{k + 1}/(k + 1)}{\im^k/k}\right| = \lim_{k \to \infty}\frac{k}{k + 1} = \lim_{k \to \infty}\frac{1}{1 + 1/k} = 1,\]

suhdetestin perusteella ei voida tehdä päätelmiä. Tarkemmalla silmäyksellä havaitaan, että itseisen suppenemisen määritelmään liittyvä sarja

\[\sum_{k = 1}^{\infty}\left|\frac{\im^k}{k}\right| = \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}\]

on harmoninen, joten sarja \(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\im^k}{k}\) ei voi supeta itseisesti.

Tiivistelmä

previous | next

Kompleksinen lukujono \((z_n)_{n = 0}^{\infty}\) suppenee kohti lukua \(z\), jos ja vain jos reaalinen lukujono \((|z_n - z|)_{n = 0}^{\infty}\) suppenee kohti nollaa.
Raja-arvon reaali- ja imaginaariosat ovat jonon termien reaali- ja imaginaariosien raja-arvot.
Kompleksiterminen sarja on lukujonon osasummien jonon raja-arvo.
Jos \((z_k)_{k = 0}^{\infty}\) hajaantuu, niin \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}z_k\) hajaantuu.
Jos \(\sum\limits_{k = 0}^{\infty}z_k\) suppenee itseisesti, niin se suppenee. Tämän vuoksi reaalisten sarjojen suhde- ja juuritestit sopivat sellaisinaan kompleksisten sarjojen suppenemisen tutkimiseen.