\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Yhtälöitä vektoriavaruuksissa

Aiemmissa luvussa opittiin ratkaisemaan lineaarisia yhtälöryhmiä sekä vastaamaan erilaisiin ratkaisuja koskeviin kysymyksiin. Hyödynnetään näitä tietoja nyt vektoriavaruuden \(\R^n\) vektoreiden tutkimiseen.

Osaamme muun muassa vastata esimerkissä 1.2.15 esitettyyn kysymykseen. Esimerkissä haluttiin tietää, onko vektori \(\bw=(-2,3,2,-1)\) vektoreiden

\[\bv_1=(0,-1,2,1), \quad \bv_2=(2,0,1,-1) \quad \text{ja} \quad \bv_3=(4,2,2,0)\]

lineaarikombinaatio. Toisin sanoen oli selvitettävä, onko yhtälöllä

\[x_1\bv_1+x_2\bv_2+x_3\bv_3=\bw.\]

ratkaisuja. Tällöin päädyttiin yhtälöryhmään

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{rcrcccrcr} &&2x_2&+&4x_3&=&-2\phantom{.} \\ -x_1&&&+&2x_3&=&3\phantom{.} \\ 2x_1&+&x_2&+&2x_3&=&2\phantom{.} \\ x_1&-&x_2&&&=&-1. \\ \end{array} \right.\end{split}\]

Kun yhtälöryhmän matriisia käsitellään alkeisrivitoimituksilla, saadaan porrasmatriisi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrr|r} 1&-1&0&-1\\ 0&1&-2&-4\\ 0&0&8&6\\ 0&0&0&-2 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Porrasmatriisissa on epätosi yhtälö, jonka perusteella tiedetään, että ratkaisuja ei ole. Siten \(\bw\) ei ole vektorien \(\bv_1\), \(\bv_2\) ja \(\bv_3\) lineaarikombinaatio.

Palautusta lähetetään...