\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Projektio suoralle
Kohtisuoruuden käsite tarjoaa mahdollisuuden määritellä vektorin projektio. Tätä voidaan ajatella vektorin heittämänä varjona kuvan 1 mukaan. Projektio on hyödyllinen työkalu esimerkiksi tietokonegrafiikassa ja geometriassa (ks. esimerkki 1.6). Projektion avulla voidaan hajottaa vektori kahden toisiaan vastaan kohtisuorassa olevan vektorin summaksi, mikä on hyödyllistä fysiikan voimavektoreita käsiteltäessä.
Tarkastellaan varjovertausta tarkemmin.
Voidaan ajatella, että vektorin \(\bv\) projektio vektorin \(\bw\) suuntaiselle suoralle on vektorin \(\bv\) heittämä varjo, kun aurinko paistaa kohtisuoraan suoraa vastaan kuten kuvassa 1. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista sanomalla, että projektio \(\bp\) on yhdensuuntainen vektorin \(\bw\) kanssa ja vektorit \(\bw\) sekä \(-\bp+\bv\) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Fig. 1: Projektiota voi ajatella vektorin heittämänä varjona.
Vektoria \(\proj_{\bw}(\bv)\) kutsutaan vektorin \(\bv\) projektioksi vektorille \(\bw\).
Vektorin projektion voi määrittää kuvan avulla seuraavasti. Piirretään vektorit \(\bv\) ja \(\bw\) alkamaan samasta pisteestä ja piirretään vektorin \(\bw\) suuntainen suora (ks. kuva 2). Projektio \(\proj_{\bw}(\bv)\) löydetään piirtämällä suora, joka on kohtisuorassa vektorin \(\bw\) suuntaista suoraa vastaan ja kulkee vektorin \(\bv\) kärjen kautta.
Fig. 2: Vektorin \(\bv\) projektion määrittäminen piirtämällä.
Määritelmän avulla projektiosta voi piirtää kuvan, mutta projektion laskeminen määritelmästä lähtien on yleensä hankalaa. Siinä auttaa projektion laskukaava.
Lause 1.4.2
Olkoot \(\bv,\bw \in \R^n\) ja \(\bw \neq \nv\). Tällöin on olemassa täsmälleen yksi projektio \(\proj_{\bw}(\bv)\) ja se saadaan kaavasta
\[\proj_{\bw}(\bv)=\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}\bw.\]
Käyttämällä normin määritelmää projektion kaavan voi kirjoittaa myös muodossa
\[\proj_{\bw}(\bv)=\frac{\bv \cdot \bw}{\norm{\bw}^2}\bw.\]
Piilota/näytä todistus
Aloitetaan osoittamalla, että vektori
\[\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}\bw\]
täyttää projektion määritelmässä mainitut ehdot.
Ensinnäkin huomataan, että kerroin \((\bv \cdot \bw)/(\bw \cdot \bw)\) on reaaliluku, sillä vektoreiden pistetulot ovat reaalilukuja. Vektori
\[\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}\bw\]
on siis vektorin \(\bw\) skalaarimonikerta. Siten projektion määritelmän ensimmäinen ehto täyttyy.
Tutkitaan sitten projektion määritelmän toista ehtoa. On osoitettava, että vektorit
\[\bv-\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}\bw\]
ja \(\bw\) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Pistetulon laskusääntöjen nojalla
\[\begin{aligned}
\left(\bv-\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}\bw \right) \cdot \bw
&=\bv \cdot \bw-\left(\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}\bw \right) \cdot \bw =\bv \cdot \bw-\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}(\bw \cdot \bw).
\end{aligned}\]
Pistetulosta tulee aina tulokseksi reaaliluku, joten seuraavaksi voidaan käyttää reaalilukujen laskusääntöjä:
\[\bv \cdot \bw-\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}(\bw \cdot \bw)
=\bv \cdot \bw-\frac{(\bv \cdot \bw)(\bw \cdot \bw)}{\bw \cdot \bw}
=\bv \cdot \bw-\bv \cdot \bw
=0.\]
Koska pistetuloksi saatiin nolla, ovat vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Siten
\[\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}\bw\]
on vektorin \(\bv\) projektio vektorin \(\bw\) virittämälle suoralle eli
\[\proj_{\bw}(\bv)=\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}\bw.\]
Osoitetaan seuraavaksi, että projektion ehdot täyttäviä vektoreita on vain yksi.
Merkitään \(\bp=\proj_{\bw}(\bv)\). Projektion määritelmän ensimmäisen kohdan perusteella \(\bp=t\bw\) jollakin \(t\neq 0\). Määritelmän toisen kohdan mukaan vektori \(\bv-\bp\) on kohtisuorassa vektoria \(\bw\) vastaan, joten \((\bv-\bp) \cdot \bw = 0\). Pistetuloksi saadaan
\[(\bv-\bp)\cdot\bw=\bv\cdot\bw-\bp\cdot\bw=\bv\cdot\bw-t\bw\cdot\bw.\]
Päädytään yhtälöön \(\bv\cdot\bw-t(\bw\cdot\bw)=0\), josta saadaan ratkaistua \(t=(\bv\cdot\bw)/(\bw\cdot\bw)\). Nyt siis
\[\bp=t\bw=\frac{\bv\cdot\bw}{\bw\cdot\bw}\bw.\]
Väite on todistettu.
Esimerkki 1.4.3
Esimerkiksi vektorin \(\bv=(1,2)\) projektio vektorin \(\bw=(-1,3)\) virittämälle suoralle on
\[\proj_{\bw}(\bv)=\frac{\bv\cdot\bw}{\bw\cdot\bw}\bw=\frac{5}{10}(-1,3)=\frac{1}{2}(-1,3)=\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).\]
Vektorin \(\bu=(-2,-2)\) projektio vektorin \(\bw\) virittämälle suoralle on puolestaan
\[\proj_{\bw}(\bu) =\frac{-4}{10}(-1,3)=-\frac{2}{5}(-1,3)=\left(\frac{2}{5},-\frac{6}{5}\right).\]
Projektiot on esitetty kuvassa 3.
Fig. 3: Vektoreiden \(\bv\) ja \(\bu\) projektiot vektorin \(\bw\) virittämälle suoralle.
Jos on annettu vektorit \(\bv \in \R^n\) ja \(\bw \in \R^n\setminus\{\nv\}\), vektori \(\bv\) voidaan kirjoittaa summana vektoreista \(\bw\) sekä \(-\proj_{\bw}(\bv)+\bv\). (Ks. kuva 1.) Nämä vektorit ovat projektion määritelmän mukaan kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vektori \(\bv\) voidaan siis hajottaa summaksi kahdesta toisiaan vastaan kohtisuorassa olevasta vektorista. Vektoria \(-\proj_{\bw}(\bv)+\bv\) kutsutaan vektorin \(\bv\) kohtisuoraksi komponentiksi vektorin \(\bw\) suhteen.
Esimerkki 1.4.4
Määritetään vektorin \(\bv = (2, 7, -11)\) kohtisuora komponentti vektorin \(\bw = (3, 0, -4)\) suhteen.
Vektorin \(\bv\) projektio vektorin \(\bw\) virittämälle suoralle on
\[\begin{split}\proj_{\bw}(\bv)=\frac{\bv \cdot \bw}{\bw \cdot \bw}\bw = \frac{2 \cdot 3 + 7 \cdot 0 + (-11)(-4)}{3^2 + 0^2 + (-4)^2}\bw = 2\bw =
\begin{augmatrix}{r}
6 \\ 0 \\ -8
\end{augmatrix},\end{split}\]
jolloin kohtisuoraksi komponentiksi saadaan
\[\begin{split}\bv - \proj_{\bw}(\bv) = \bv - 2\bw =
\begin{augmatrix}{r}
-4 \\ 7 \\ -3
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Laskemalla voi vielä tarkistaa, että \((2, 7, -11)=(6, 0, -8)+(-4,7-3)\), joten \(\bv\) on tosiaan löydettyjen vektorien summa. Lisäksi \((6, 0, -8) \cdot (-4,7-3)=0\), joten vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Edellisessä luvussa esitettiin Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö (lause 1.3.18), mutta todistusta lykättiin myöhemmäksi. Todistetaan epäyhtälö nyt vektoriprojektion avulla.
Piilota/näytä todistus
Oletetaan, että \(\bv \in \R^n\) ja \(\bw \in \R^n\). Osoitetaan, että
\[|\bv \cdot \bw| \le \norm{\bv}\norm{\bw}.\]
Tutkitaan ensin tapaus \(\bw=\bzero\). Tässä tapauksessa epäyhtälön molempien puolten lausekkeiden arvot ovat \(0\), ja epäyhtälö pätee.
Oletetaan sitten, että \(\bw\neq\bzero\). Nyt voidaan projisoida vektorin \(\bv\) vektorin \(\bw\) virittämälle suoralle. Projektiovektorin pituus on
\[\left\|\proj_{\bw}(\bv)\right\| = \left\|\frac{\bw \cdot \bv}{\bw \cdot \bw} \bw\right\| = \frac{|\bw \cdot \bv|}{\bw \cdot \bw}\|\bw\| =
\frac{|\bw \cdot \bv|}{\|\bw\|^2}\|\bw\| =\frac{|\bw \cdot \bv|}{\|\bw\|}.\]
Toisaalta
\[\bv = \proj_{\bw}(\bv)+\bk,\]
missä \(\bk = \bv - \proj_{\bw}(\bv)\).
Koska \(\proj_{\bw}(\bv)\) ja \(\bk\) ovat kohtisuorassa toisiaan vasten, saadaan Pythagoraan lauseen perusteella
\[\|\bv\|^2 = \left\|\proj_{\bw}(\bv) + \bk\right\|^2 = \left\|\proj_{\bw}(\bv)\right\|^2 + \|\bk\|^2.\]
Edelleen \(\left\|\proj_{\bw}(\bv)\right\|^2 + \|\bk\|^2 \ge \left\|\proj_{\bw}(\bv)\right\|^2\),
joten
\[\|\bv\|^2 \ge \left\|\proj_{\bw}(\bv)\right\|^2.\]
Koska vektorien normit ovat positiivisia, voidaan päätellä, että \(\|\bv\| \ge \left\|\proj_{\bw}(\bv)\right\|\).
On siis osoitettu, että vektorin \(\bv\) projektion pituus ei koskaan ylitä vektorin \(\bv\) pituutta. Näin ollen
\[\frac{|\bv \cdot \bw|}{\|\bw\|} \le \|\bv\|,\]
mistä seuraa
\[|\bv \cdot \bw| \le \norm{\bv}\norm{\bw}.\qedhere\]
Otetaan tähän vielä kolmioepäyhtälö, jota hyödynnetään usein vektorilaskennassa
Lause 1.4.5 (Kolmioepäyhtälö)
Kaikille vektoreille \(\bu\, , \bv \in \R^n\) pätee
\[\|\bu + \bv\| \leq \|\bu\|+\|\bv\|.\]
Piilota/näytä todistus
Soveltamalla normin määritelmää ja pistetulon ominaisuuksia, saadaan
\[\|\bu + \bv\|^2=(\bu+\bv)\cdot (\bu+\bv)=\|\bu\|^2+2\bu\cdot\bv+\|\bv\|^2\]
Soveltamalla tietoa \(\bu\cdot\bv\le |\bu\cdot\bv|\) ja Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä, saadaan
