Integraali¶
Integraalilaskennan motivaationa ovat seuraavat ongelmat.
Etsi sellainen funktio \(F\), jonka derivaatta on annettu funktio \(f\). Ratkaisua merkitään
\[F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x.\]Laske sellaisen alueen \(A\) pinta-ala, jota rajoittavat \(x\)-akseli, suorat \(x=a\) ja \(x=b\) sekä funktion \(f>0\) kuvaaja. Ratkaisua merkitään
\[a(A)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\]
Esimerkki.
Kappale liikkuu pitkin \(x\)-akselia. Tiedetään, että kappaleen kiihtyvyys ajan \(t\) funktiona on \(a(t)=6t\). Kappale lähtee liikkeelle levosta ajanhetkellä \(t=0\). Ratkaise sen nopeus \(v(t)\) ajan funktiona.
Ratkaisu.
\(v'(t)=a(t)\), joten kyseessä on kohdan 1 mukainen
ongelma. Helposti nähdään, että ainakin funktio \(v(t)=3t^2\)
toteuttaa yhtälön \(v'(t)=a(t)\) ja alkuehdon \(v(0)=0\).
Osoittautuu, että hyvin erilaisilta näyttävillä ongelmilla 1 ja 2 on läheinen yhteys keskenään.
Tärppejä tähän osioon:
- Integraalifunktio, integrointi, integroinnin lineaarisuus
- Osittaisintegrointi, integrointi suoralla ja käänteisellä sijoituksella
- Rationaalifunktion integrointi osamurtokehitelmällä
- Riemann-integroituvuus, määrätyn integraalin lineaarisuus ja arviointi
- Integraalilaskennan väliarvolause, analyysin peruslause, integraalin laskeminen integraalifunktion avulla
- Määrätyn integraalin osittaisintegrointi ja sijoitus, parittomien ja parillisten funktioiden määrätyt integraalit
- Funktioiden kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala, kuvaajan pituus, pyörähdyskappaleen vaipan ala ja tilavuus
- Integrointi numeerisesti Riemannin summilla, puolisuunnikassääntö ja Simpsonin kaava
- Epäoleelliset integraalit rajoittamattomalla välillä, ja rajoittamattomalle funktiolle, sekä yhdistelmät
- Muotoa \(\frac{1}{x^p}\) olevien funktioiden epäoleellisten integraalien suppeneminen ja vertailuperiaate