"

Integraali

Integraalilaskennan motivaationa ovat seuraavat ongelmat.

  1. Etsi sellainen funktio \(F\), jonka derivaatta on annettu funktio \(f\). Ratkaisua merkitään

    \[F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x.\]
  2. Laske sellaisen alueen \(A\) pinta-ala, jota rajoittavat \(x\)-akseli, suorat \(x=a\) ja \(x=b\) sekä funktion \(f>0\) kuvaaja. Ratkaisua merkitään

    \[a(A)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\]
    ../_images/integraalimotivointi.svg

Esimerkki.

Kappale liikkuu pitkin \(x\)-akselia. Tiedetään, että kappaleen kiihtyvyys ajan \(t\) funktiona on \(a(t)=6t\). Kappale lähtee liikkeelle levosta ajanhetkellä \(t=0\). Ratkaise sen nopeus \(v(t)\) ajan funktiona.

Ratkaisu.
\(v'(t)=a(t)\), joten kyseessä on kohdan 1 mukainen ongelma. Helposti nähdään, että ainakin funktio \(v(t)=3t^2\) toteuttaa yhtälön \(v'(t)=a(t)\) ja alkuehdon \(v(0)=0\).

Osoittautuu, että hyvin erilaisilta näyttävillä ongelmilla 1 ja 2 on läheinen yhteys keskenään.

Tärppejä tähän osioon: