Integraali¶

Integraalilaskennan motivaationa ovat seuraavat ongelmat.

Etsi sellainen funktio $F$ , jonka derivaatta on annettu funktio $f$ . Ratkaisua merkitään

$F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x.$
Laske sellaisen alueen $A$ pinta-ala, jota rajoittavat $x$ -akseli, suorat $x=a$ ja $x=b$ sekä funktion $f>0$ kuvaaja. Ratkaisua merkitään

$a(A)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$

Esimerkki.

Kappale liikkuu pitkin $x$ -akselia. Tiedetään, että kappaleen kiihtyvyys ajan $t$ funktiona on $a(t)=6t$ . Kappale lähtee liikkeelle levosta ajanhetkellä $t=0$ . Ratkaise sen nopeus $v(t)$ ajan funktiona.

Ratkaisu.

$v'(t)=a(t)$ , joten kyseessä on kohdan 1 mukainen ongelma. Helposti nähdään, että ainakin funktio

$v(t)=3t^2$ toteuttaa yhtälön

$v'(t)=a(t)$ ja alkuehdon

$v(0)=0$ .

Osoittautuu, että hyvin erilaisilta näyttävillä ongelmilla 1 ja 2 on läheinen yhteys keskenään.

Tärppejä tähän osioon:

Integraalifunktio, integrointi, integroinnin lineaarisuus
Osittaisintegrointi, integrointi suoralla ja käänteisellä sijoituksella
Rationaalifunktion integrointi osamurtokehitelmällä
Riemann-integroituvuus, määrätyn integraalin lineaarisuus ja arviointi
Integraalilaskennan väliarvolause, analyysin peruslause, integraalin laskeminen integraalifunktion avulla
Määrätyn integraalin osittaisintegrointi ja sijoitus, parittomien ja parillisten funktioiden määrätyt integraalit
Funktioiden kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala, kuvaajan pituus, pyörähdyskappaleen vaipan ala ja tilavuus
Integrointi numeerisesti Riemannin summilla, puolisuunnikassääntö ja Simpsonin kaava
Epäoleelliset integraalit rajoittamattomalla välillä, ja rajoittamattomalle funktiolle, sekä yhdistelmät
Muotoa $\frac{1}{x^p}$ olevien funktioiden epäoleellisten integraalien suppeneminen ja vertailuperiaate