Processing math: 86%
"

Kanta ja dimensio

Aliavaruus on siis vektorikokoelma, jonka alkioita voidaan laskea yhteen ja kertoa skalaareilla ilman, että tulos poistuu tästä kokoelmasta. On selvää, että jokaiseen epätriviaaliin aliavaruuteen sisältyy tällöin äärettömän monta erilaista vektoria. Jotta annetun aliavaruuden ominaisuuksia pystyttäisiin tutkimaan, olisi mukavaa pystyä löytämään äärellinen määrä vektoreita, jotka edustavat koko aliavaruutta.

Lause.

Olkoon S avaruuden Rn aliavaruus ja S{0}. Tällöin aliavaruudesta S löydetään sellaiset nollasta poikkeavat lineaarisesti riippumattomat vektorit v1,v2,,vk, että

S=span{v1,v2,,vk}.

Vektorijoukkoa {v1,v2,,vk} kutsutaan aliavaruuden S kannaksi.

Todistus.

Lause.

Olkoon {v1,v2,,vk} aliavaruuden S kanta. Tällöin aliavaruuden S vektorilla v on lineaarikombinaatioesityksen

v=c1v1+c2v2++ckvk

kertoimet voidaan valita täsmälleen yhdellä tavalla.

Todistus.

Kannan idea ja hyöty on siis siinä, että jokaisella aliavaruuden vektorilla on yksikäsitteinen esitys kannan vektoreiden lineaarikombinaationa.

Esimerkki.

Avaruuden Rn vektorit

e1=[100],e2=[010],en=[001]

ovat lineaarisesti riippumattomia, sillä

rref[e1e2en]=[e1e2en]=In,

ja samaan aikaan Rn=span{e1,e2,,en}. Nämä luonnollisen kannan vektorit nimensä mukaisesti muodostavat siis avaruuden Rn kannan.

Samalla aliavaruudella voi olla useita erilaisia kantoja, mutta niissä kaikissa on sama määrä vektoreita.

Lause.

Olkoon {v1,v2,,vk} avaruuden Rn aliavaruuden S kanta. Jos m>k, niin aliavaruuden S vektorit u1,u2,,um ovat lineaarisesti riippuvia.

Todistus.

Huomautus.

Suoralla, eli yhden vektorin virittämässä aliavaruudessa mitkä tahansa kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvia. Vastaavasti tasolla, eli kahden vektorin virittämässä aliavaruudessa mitkä tahansa kolme vektoria ovat lineaarisesti riippuvia.

Seuraus.

Olkoot {u1,u2,,um} ja {v1,v2,,vk} avaruuden Rn aliavaruuden S kantoja. Tällöin m=k.

Todistus.

Tämä tulos, aliavaruuksien dimensiolause, mahdollistaa aliavaruuden ulottuvuuksien lukumäärästä puhumisen.

Määritelmä.

Aliavaruuden S dimensio, dim(S), on sen kantavektoreiden lukumäärä. Jos dim(S)=k, niin aliavaruuden S sanotaan olevan k-ulotteinen. Triviaalille aliavaruudelle dim{0}=0.

Esimerkki.

Avaruuden Rn luonnollisessa kannassa {e1,e2,,en} on n vektoria, joten dim(Rn)=n.

Avaruuksille R2 ja R3 on suhteellisen helppo löytää myös luonnollisesta kannasta eroavia kantoja. Mitkä tahansa kaksi tason erisuuntaista vektoria ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne muodostavat myös kannan. Avaruudessa R3 voidaan valita kaksi erisuuntaista vektoria, ja etsiä kolmas kantavektori esimerkiksi kahden ensimmäisen ristituloa.

Lause.

Jos u0 ja v0 ovat avaruuden R3 erisuuntaisia vektoreita, niin {u,v,u×v} on avaruuden R3 kanta.

Todistus.

Esimerkki.

Määrää jokin avaruuden \mathbb R^3 kanta, joka sisältää vektorin \mathbf{u}=(1, 0, -1).

Ratkaisu.