Kanta ja dimensio
Aliavaruus on siis vektorikokoelma, jonka alkioita voidaan laskea yhteen
ja kertoa skalaareilla ilman, että tulos poistuu tästä kokoelmasta. On
selvää, että jokaiseen epätriviaaliin aliavaruuteen sisältyy tällöin
äärettömän monta erilaista vektoria. Jotta annetun aliavaruuden
ominaisuuksia pystyttäisiin tutkimaan, olisi mukavaa pystyä löytämään
äärellinen määrä vektoreita, jotka edustavat koko aliavaruutta.
Lause.
Olkoon S avaruuden Rn aliavaruus ja
S≠{0}. Tällöin aliavaruudesta S
löydetään sellaiset nollasta poikkeavat lineaarisesti riippumattomat
vektorit v1,v2,…,vk, että
S=span{v1,v2,…,vk}.
Vektorijoukkoa
{v1,v2,…,vk} kutsutaan
aliavaruuden S kannaksi.
Koska S sisältyy avaruuteen Rn,
niin on oltava k≤n aiemman lauseen nojalla. Tämän vuoksi voidaan
olettaa, että k on suurin sellainen luku, että aliavaruuden
S vektorit
v1,v2,…,vk ovat
lineaarisesti riippumattomia. Olkoon v jokin
aliavaruuden S vektori. Jos v=vi
jollakin i=1,2,…,k, niin sillä on
lineaarikombinaatioesitys
v=0⋅v1+0⋅v2+⋯+1⋅vi+⋯+0⋅vk,
eli v on virityksessä
span{v1,v2,…,vk}.
Muuten vektoreiden
v1,v2,…,vk,v on
oltava lineaarisesti riippuvia, ja aikaisemman lauseen nojalla
span{v1,v2,…,vk,v}=span{v1,v2,…,vk}.
Koska v on virityksessä
span{v1,v2,…,vk,v},
niin edellisen yhtäsuuruuden vuoksi v on myös
virityksessä
span{v1,v2,…,vk}.
Jokainen aliavaruuden S vektori on siis vektoreiden
v1,v2,…,vk virittämä.
◻
Lause.
Olkoon
{v1,v2,…,vk}
aliavaruuden S kanta. Tällöin aliavaruuden S vektorilla
v on lineaarikombinaatioesityksen
v=c1v1+c2v2+⋯+ckvk
kertoimet voidaan valita täsmälleen yhdellä tavalla.
Edellisen lauseen nojalla vektorilla v on
lineaarikombinaatioesitys. Oletetaan, että
c1v1+c2v2+⋯+ckvk=v=c′1v1+c′2v2+⋯+c′kvk,
jolloin
(c1−c′1)v1+(c2−c′2)v2+⋯+(ck−c′k)vk=0.
Koska vektorit v1,v2,…,vk
ovat lineaarisesti riippumattomia, yhtälön toteutumiseksi on oltava
c1−c′1=c2−c′2=⋯=ck−c′k=0. Täten
lineaarikombinaatioesitys on yksikäsitteinen. ◻
Kannan idea ja hyöty on siis siinä, että jokaisella aliavaruuden
vektorilla on yksikäsitteinen esitys kannan vektoreiden
lineaarikombinaationa.
Esimerkki.
Avaruuden Rn vektorit
e1=[10⋮0],e2=[01⋮0],…en=[00⋮1]
ovat lineaarisesti riippumattomia, sillä
rref[e1e2…en]=[e1e2…en]=In,
ja samaan aikaan
Rn=span{e1,e2,…,en}.
Nämä luonnollisen kannan vektorit nimensä mukaisesti muodostavat siis
avaruuden Rn kannan.
Samalla aliavaruudella voi olla useita erilaisia kantoja, mutta niissä
kaikissa on sama määrä vektoreita.
Lause.
Olkoon
{v1,v2,…,vk} avaruuden
Rn aliavaruuden S kanta. Jos m>k,
niin aliavaruuden S vektorit
u1,u2,…,um ovat
lineaarisesti riippuvia.
Tarkastellaan vektoriyhtälöä
c1u1+c2u2+⋯+cmum=0.
Vektorit u1,u2,…,um
voidaan esittää kannan vektorien yksikäsitteisinä lineaarikombinaatioina
u1=a11v1+a12v2+⋯+a1kvku2=a21v1+a22v2+⋯+a2kvk ⋮um=am1v1+am2v2+⋯+amkvk,
jolloin vektoriyhtälön vasemman puolen i:s termi,
i=1,2,…,m tulee muotoon
ci(ai1v1+ai2v2+⋯+aikvk)=ciai1v1+ciai2v2+⋯+ciaikvk.
Yhteenlaskun jälkeen vektorin vj kertoimeksi tulee
c1a1j+c2a2j+⋯+cmamj=bj,
eli vektoriyhtälö tulee muotoon
b1v1+b2v2+⋯+bkvk=0.
Vektorit v1,v2,…,vk ovat
lineaarisesti riippumattomia, joten
b1=b2=⋯=bk=0. Näin saadaan muuttujien
c1,c2,…,cm yhteensä k homogeenisen yhtälön
lineaarinen ryhmä
{a11c1+a21c2+⋯+am1cm=0a12c1+a22c2+⋯+am2cm=0a13c1+a23c3+⋮a1kc1+a2kc2+⋯+amkcm=0.
Koska m>k, niin tällä yhtälöryhmällä on ääretön
määrä ratkaisuja, ja täten alkuperäinen
vektoriyhtälö toteutuu joillakin nollasta poikkeavilla kertoimilla
c1,c2,…,cm. ◻
Huomautus.
Suoralla, eli yhden vektorin virittämässä aliavaruudessa
mitkä tahansa kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvia. Vastaavasti
tasolla, eli kahden vektorin virittämässä aliavaruudessa mitkä tahansa
kolme vektoria ovat lineaarisesti riippuvia.
Seuraus.
Olkoot
{u1,u2,…,um} ja
{v1,v2,…,vk} avaruuden
Rn aliavaruuden S kantoja. Tällöin
m=k.
Jos m>k, niin vektorit
u1,u2,…,um ovat
lineaarisesti riippuvia. Vastaavasti jos m<k, niin vektorit
v1,v2,…,vk ovat
lineaarisesti riippuvia. Kumpikaan tapaus ei ole mahdollinen, joten on
oltava m=k. ◻
Tämä tulos, aliavaruuksien dimensiolause, mahdollistaa aliavaruuden
ulottuvuuksien lukumäärästä puhumisen.
Esimerkki.
Avaruuden Rn luonnollisessa kannassa
{e1,e2,…,en} on
n vektoria, joten dim(Rn)=n.
Avaruuksille R2 ja R3 on suhteellisen
helppo löytää myös luonnollisesta kannasta eroavia kantoja. Mitkä
tahansa kaksi tason erisuuntaista vektoria ovat lineaarisesti
riippumattomia, joten ne muodostavat myös kannan. Avaruudessa
R3 voidaan valita kaksi erisuuntaista vektoria, ja
etsiä kolmas kantavektori esimerkiksi kahden ensimmäisen ristituloa.
Lause.
Jos u≠0 ja
v≠0 ovat avaruuden R3
erisuuntaisia vektoreita, niin
{u,v,u×v} on
avaruuden R3 kanta.
Koska dim(R3)=3,
kantaehdokkaassa on jo oikea määrä vektoreita. Riittää osoittaa, että ne
ovat lineaarisesti riippumattomia. Otetaan vektoriyhtälössä
αu+βv+γu×v=0
pistetulo puolittain vektorin u×v
kanssa. Tiedetään, että vektoriparit u ja
u×v, sekä v ja
u×v ovat ortogonaalisia, ja täten
αu⋅(u×v)+βv⋅(u×v)+γ(u×v)⋅(u×v)=0+0+γ‖
Koska \mathbf{u}\not= \mathbf{0} ja
\mathbf{v}\not= \mathbf{0}, myös
\mathbf{u}\times \mathbf{v}\not= \mathbf{0} ja täten on oltava
\gamma = 0. Alkuperäinen vektoriyhtälö palautuu muotoon
\alpha\mathbf{u}+ \beta\mathbf{v}= \mathbf{0},
missä on oltava \alpha = \beta = 0, sillä vektorit
\mathbf{u} ja \mathbf{v} ovat erisuuntaiset.
\square
Esimerkki.
Määrää jokin avaruuden \mathbb R^3 kanta, joka
sisältää vektorin \mathbf{u}=(1, 0, -1).
Toiseksi kantavektoriksi kelpaa esimerkiksi
\mathbf{v}= (0, 1, 0), sillä se ei ole yhdensuuntainen vektorin
\mathbf{u} kanssa. Kolmanneksi kantavektori voidaan siis valita
\begin{aligned}
\mathbf{u}\times \mathbf{v}&= (\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3) \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_3,\end{aligned}
eli \mathbf{u}\times \mathbf{v}= (1, 0, 1). Esimerkki halutusta
kannasta on siis
\begin{split}\left\{\begin{bmatrix}
1\\0\\-1
\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
0\\1\\0
\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
1\\0\\1
\end{bmatrix}\right\}.\end{split}