Nolla- ja sarakeavaruuksien kanta ja dimensio
Myös matriisin nolla- ja sarakeavaruuksien kantoja on hyödyllistä
tutkia. Huomataan, että matriisiin A liittyvien aliavaruuksien
kannat ovat läheisessä yhteydessä sen redusoituun riviporrasmuotoon
rref(A).
Lause.
Eräs matriisin A sarakeavaruuden
R(A) kanta muodostuu niistä matriisin A
sarakkeista, joihin syntyy johtavat ykköset redusoidussa
riviporrasmuodossa rref(A).
Olkoot
v1,v2,…,vk matriisin
A ne sarakevektorit, joiden kohdille johtavat ykköset
sijoittuvat redusoidussa riviporrasmuodossa
rref(A). Tällöin yhtälöryhmällä
[v1v2⋯vk]x=0,
on vain triviaaliratkaisu x=0, sillä se on
ekvivalentti yhtälön
rref[v1v2⋯vk]x=[11⋱1]x=0
kanssa. Tämän yhtälön ratkaisu määräytyy yksikäsitteisesti ensimmäisen
k:n rivin perusteella. Näin päätellään, että vektorit
v1,v2,…,vk ovat
lineaarisesti riippumattomat.
Oletetaan, että u1,u2,…,ul
ovat loput matriisin A sarakkeista. Gaussin eliminoinnilla
nähdään, että yhtälöllä
[v1v2⋯vkuj]x=0
on aina ei-triviaaliratkaisuja jokaista j=1,2,…,l
kohti, sillä viimeinen sarake vastaa vapaata muuttujaa. Täten aiemman
lauseen nojalla
span{v1,v2,…,vk}=span{v1,v2,…,,vk,u1,u2,…,ul}=R(A),
eli vektorit v1,v2,…,vk
muodostavat sarakeavaruuden kannan. ◻
Nolla-avaruuden kanta puolestaan löydetään helposti tutkimalla
homogeenisen yhtälön Ax=0 ratkaisua, kuten
aiemmassa esimerkissä.
Tiivistettynä matriisin A nolla- ja sarakeavaruuksien kannat
voidaan löytää seuraavalla algoritmilla.
- Etsi matriisin A redusoitu vaakariviporrasmuoto
rref(A).
- Valitse matriisista A ne sarakkeet, joiden kohdalle
matriisissa rref(A) sijoittuu johtava ykkönen.
Nämä pystyvektorit muodostavat sarakeavaruuden R(A)
kannan.
- Etsi matriisin rref(A) avulla homogeenisen
yhtälön Ax=0 yleinen ratkaisu ja esitä se
vakiovektoreiden lineaarikombinaationa. Huomaa, että
rref[A∣0]=[rref(A)∣0].
Lineaarikombinaation vektorit muodostavat nolla-avaruuden
N(A) kannan.
Esimerkki.
Etsi avaruuksille R(A) ja
N(A) kannat, kun A=[1242231−1−1−133].
Matriisin A redusoitu riviporrasmuoto on
rref(A)=[10−10−801750000].
Koska johtavat ykköset ovat kahdessa ensimmäisessä sarakkeessa,
sarakeavaruuden R(A) kannaksi kelpaa
{[12−1],[23−1]}.
Samalla nähdään, että dimR(A)=2.
Homogeenisen yhtälön Ax=0 yleiseksi
ratkaisuksi parametrisoidaan
{x1=10t+8sx2=−7t−5sx3=tx4=s,elix=[x1x2x3x4]=t[10−710]+s[8−501],
joten nolla-avaruuden N(A) kannaksi voidaan valita
{[10−710],[8−501]}.
Lisäksi dimN(A)=2. Mitä erityistä
huomaat nolla- ja sarakeavaruuksien dimensioiden summassa?
Seuraava tulos saadaan välittömästi pohtimalla, miten sarakeavaruuden
kanta muodostuu.
Seuraus.
Olkoon A matriisi. Tällöin
rank(A)=dimR(A).
Matriisin asteella tarkoitetaan siis oikeastaan sen sarakkeiden
virittämän aliavaruuden dimensiota, ja redusoitu riviporrasmuoto
(Gaussin eliminointi) tarjoaa kätevän keinon sen selvittämiseksi.
Matriisin asteen syvällisempään rooliin voi tutustua myöhemmillä
opintojaksoilla. Todistetaan kuitenkin erittäin hyödyllinen matriisien
dimensiolause.
Lause.
Jos A on m×n-matriisi, niin
dimN(A)+rank(A)=n.
Oletetaan, että rank(A)=r. Tällöin
matriisissa rref(A) esiintyy yhteensä r
johtavaa ykköstä, ja erityisesti muita sarakkeita on n−r.
Yhtälöryhmässä Ax=0 on siis oltava
n−r vapaata muuttujaa, eli parametrisoinnin jälkeen nähdään,
että homogeenisen yhtälön ratkaisu muodostuu yhteensä n−r
vektorin lineaarikombinaationa. Nämä vektorit kelpaavat myös
nolla-avaruuden kannaksi, ja täten
dimN(A)+rank(A)=n−r+r=n,
kuten haluttiin. ◻
Esimerkki.
Olkoon
A=[1−3−4−46−2−376].
Etsi aliavaruuksien R(A) ja N(A)
kannat ja dimensiot. Mikä on matriisin A aste? Osoita, että
matriisi A toteuttaa dimensiolauseen.
Viedään matriisi A redusoituun riviporrasmuotoon.
[1−3−446−2−376]R2+4R1→[1−3−40−6−18−376]R3+3R1→[1−3−40−6−180−2−6]R3−13R2→[1−3−40−6−18000]R1−12R2→[1050−6−18000]−16R2→[105013000]
Johtavat ykköset sijoittuvat kahteen ensimmäiseen sarakkeeseen, joten
sarakeavaruuden R(A) kannaksi kelpaa matriisin
A kaksi ensimmäistä saraketta, eli
{[1−4−3],[−367]}.
Tästä päätellään myös, että
dimR(A)=2=rank(A).
Nolla-avaruuden kantaa varten tarkastellaan yhtälöryhmää
Ax=0. Parametrisoidaan kolmas muuttuja, jonka
jälkeen ratkaisuksi luetaan kokonaismatriisista
[rref(A)∣0]
x=[−5t−3tt]=t[−5−31].
Näin nolla-avaruuden N(A) kannaksi saadaan
{[−5−31]},
ja dimN(A)=1. Matriisi A on
kooltaan 3×3, joten dimensiolauseen täyttääkseen sen asteen ja
nolla-avaruuden dimension summan tulee olla 3. Nyt
rank(A)+dimN(A)=2+1=3,
joten dimensiolause toteutuu.