Nolla- ja sarakeavaruuksien kanta ja dimensio¶

Myös matriisin nolla- ja sarakeavaruuksien kantoja on hyödyllistä tutkia. Huomataan, että matriisiin \(A\) liittyvien aliavaruuksien kannat ovat läheisessä yhteydessä sen redusoituun riviporrasmuotoon \(\operatorname{rref}(A)\).

Lause.

Eräs matriisin \(A\) sarakeavaruuden \(\mathcal{R}(A)\) kanta muodostuu niistä matriisin \(A\) sarakkeista, joihin syntyy johtavat ykköset redusoidussa riviporrasmuodossa \(\operatorname{rref}(A)\).

Todistus.

Olkoot \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) matriisin \(A\) ne sarakevektorit, joiden kohdille johtavat ykköset sijoittuvat redusoidussa riviporrasmuodossa \(\operatorname{rref}(A)\). Tällöin yhtälöryhmällä

\[\begin{bmatrix} \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\cdots&\mathbf{v}_k\end{bmatrix}\mathbf{x}=\mathbf{0},\]

on vain triviaaliratkaisu \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\), sillä se on ekvivalentti yhtälön

\[\begin{split}\operatorname{rref}\begin{bmatrix} \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\cdots&\mathbf{v}_k\end{bmatrix}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 1 &&& \\ & 1 && \\ && \ddots & \\ &&& 1 \\ &&& \end{bmatrix}\mathbf{x}= \mathbf{0}\end{split}\]

kanssa. Tämän yhtälön ratkaisu määräytyy yksikäsitteisesti ensimmäisen \(k\):n rivin perusteella. Näin päätellään, että vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippumattomat.

Oletetaan, että \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_l\) ovat loput matriisin \(A\) sarakkeista. Gaussin eliminoinnilla nähdään, että yhtälöllä

\[\begin{bmatrix} \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\cdots&\mathbf{v}_k & \mathbf{u}_j \end{bmatrix}\mathbf{x}=\mathbf{0}\]

on aina ei-triviaaliratkaisuja jokaista \(j = 1, 2, \ldots, l\) kohti, sillä viimeinen sarake vastaa vapaata muuttujaa. Täten aiemman lauseen nojalla

\[\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\} = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, , \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_l\} = \mathcal{R}(A),\]

eli vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) muodostavat sarakeavaruuden kannan. \(\square\)

Nolla-avaruuden kanta puolestaan löydetään helposti tutkimalla homogeenisen yhtälön \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) ratkaisua, kuten aiemmassa esimerkissä. Tiivistettynä matriisin \(A\) nolla- ja sarakeavaruuksien kannat voidaan löytää seuraavalla algoritmilla.

Etsi matriisin \(A\) redusoitu vaakariviporrasmuoto \(\operatorname{rref}(A)\).
Valitse matriisista \(A\) ne sarakkeet, joiden kohdalle matriisissa \(\operatorname{rref}(A)\) sijoittuu johtava ykkönen. Nämä pystyvektorit muodostavat sarakeavaruuden \(\mathcal{R}(A)\) kannan.
Etsi matriisin \(\operatorname{rref}(A)\) avulla homogeenisen yhtälön \(A\mathbf{x}= \mathbf{0}\) yleinen ratkaisu ja esitä se vakiovektoreiden lineaarikombinaationa. Huomaa, että \(\operatorname{rref}[A\mid\mathbf{0}] = [\operatorname{rref}(A)\mid\mathbf{0}]\). Lineaarikombinaation vektorit muodostavat nolla-avaruuden \(\mathcal{N}(A)\) kannan.

Esimerkki.

Etsi avaruuksille \(\mathcal{R}(A)\) ja \(\mathcal{N}(A)\) kannat, kun \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ -1 & -1 & 3 & 3 \end{bmatrix}\).

Ratkaisu.

Matriisin \(A\) redusoitu riviporrasmuoto on

\[\begin{split}\operatorname{rref}(A)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -10 & -8\\ 0 & 1 & 7 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Koska johtavat ykköset ovat kahdessa ensimmäisessä sarakkeessa, sarakeavaruuden \(\mathcal{R}(A)\) kannaksi kelpaa

\[\begin{split}\left\{ \begin{bmatrix} 1\\2\\-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\3\\-1\end{bmatrix}\right\}.\end{split}\]

Samalla nähdään, että \(\operatorname{dim}\mathcal{R}(A) = 2\). Homogeenisen yhtälön \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) yleiseksi ratkaisuksi parametrisoidaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} x_1 = 10t + 8s \\ x_2 = -7t - 5s \\ x_3 = t \\ x_4 = s, \end{cases}\qquad\text{eli}\qquad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 10 \\ -7 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 8 \\ -5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\end{aligned}\end{split}\]

joten nolla-avaruuden \(\mathcal{N}(A)\) kannaksi voidaan valita

\[\begin{split}\left\{ \begin{bmatrix}10\\-7\\ 1\\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}8\\-5\\ 0\\ 1\end{bmatrix} \right\}.\end{split}\]

Lisäksi \(\operatorname{dim}\mathcal{N}(A) = 2\). Mitä erityistä huomaat nolla- ja sarakeavaruuksien dimensioiden summassa?

Määritelmä.

Matriisin \(A\) aste \(\operatorname{rank}(A)\) on sen redusoidussa riviporrasmuodossa \(\operatorname{rref}(A)\) esiintyvien johtavien ykkösten lukumäärä.

Seuraava tulos saadaan välittömästi pohtimalla, miten sarakeavaruuden kanta muodostuu.

Seuraus.

Olkoon \(A\) matriisi. Tällöin \(\operatorname{rank}(A) = \operatorname{dim}\mathcal{R}(A)\).

Matriisin asteella tarkoitetaan siis oikeastaan sen sarakkeiden virittämän aliavaruuden dimensiota, ja redusoitu riviporrasmuoto (Gaussin eliminointi) tarjoaa kätevän keinon sen selvittämiseksi. Matriisin asteen syvällisempään rooliin voi tutustua myöhemmillä opintojaksoilla. Todistetaan kuitenkin erittäin hyödyllinen matriisien dimensiolause.

Lause.

Jos \(A\) on \(m \times n\)-matriisi, niin \(\operatorname{dim}\mathcal{N}(A)+\operatorname{rank}(A)=n\).

Todistus.

Oletetaan, että \(\operatorname{rank}(A) = r\). Tällöin matriisissa \(\operatorname{rref}(A)\) esiintyy yhteensä \(r\) johtavaa ykköstä, ja erityisesti muita sarakkeita on \(n - r\). Yhtälöryhmässä \(A\mathbf{x}= \mathbf{0}\) on siis oltava \(n - r\) vapaata muuttujaa, eli parametrisoinnin jälkeen nähdään, että homogeenisen yhtälön ratkaisu muodostuu yhteensä \(n - r\) vektorin lineaarikombinaationa. Nämä vektorit kelpaavat myös nolla-avaruuden kannaksi, ja täten

\[\operatorname{dim}\mathcal{N}(A)+\operatorname{rank}(A)=n-r+r=n,\]

kuten haluttiin. \(\square\)

Esimerkki.

Olkoon

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -4 & 6 & -2 \\ -3 & 7 & 6 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Etsi aliavaruuksien \(\mathcal{R}(A)\) ja \(\mathcal{N}(A)\) kannat ja dimensiot. Mikä on matriisin \(A\) aste? Osoita, että matriisi \(A\) toteuttaa dimensiolauseen.

Ratkaisu.

Viedään matriisi \(A\) redusoituun riviporrasmuotoon.

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ 4 & 6 & -2 \\ -3 & 7 & 6 \end{bmatrix} &\xrightarrow{R_2 + 4R_1} \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ 0 & -6 & -18 \\ -3 & 7 & 6 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 + 3R_1} \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ 0 & -6 & -18 \\ 0 & -2 & -6 \end{bmatrix} \\ &\xrightarrow{R_3 - \frac{1}{3}R_2} \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ 0 & -6 & -18 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 - \frac{1}{2}R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & -6 & -18 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{6}R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\end{aligned}\end{split}\]

Johtavat ykköset sijoittuvat kahteen ensimmäiseen sarakkeeseen, joten sarakeavaruuden \(\mathcal{R}(A)\) kannaksi kelpaa matriisin \(A\) kaksi ensimmäistä saraketta, eli

\[\begin{split}\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ 7 \end{bmatrix}\right\}.\end{split}\]

Tästä päätellään myös, että \(\operatorname{dim}\mathcal{R}(A) = 2 = \operatorname{rank}(A)\). Nolla-avaruuden kantaa varten tarkastellaan yhtälöryhmää \(A\mathbf{x}= \mathbf{0}\). Parametrisoidaan kolmas muuttuja, jonka jälkeen ratkaisuksi luetaan kokonaismatriisista \([\operatorname{rref}(A)\mid\mathbf{0}]\)

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} -5t \\ -3t \\ t \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Näin nolla-avaruuden \(\mathcal{N}(A)\) kannaksi saadaan

\[\begin{split}\left\{\begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\right\},\end{split}\]

ja \(\operatorname{dim}\mathcal{N}(A) = 1\). Matriisi \(A\) on kooltaan \(3 \times 3\), joten dimensiolauseen täyttääkseen sen asteen ja nolla-avaruuden dimension summan tulee olla \(3\). Nyt

\[\operatorname{rank}(A)+\operatorname{dim}\mathcal{N}(A)=2+1=3,\]

joten dimensiolause toteutuu.