Processing math: 100%
"

Nolla- ja sarakeavaruuksien kanta ja dimensio

Myös matriisin nolla- ja sarakeavaruuksien kantoja on hyödyllistä tutkia. Huomataan, että matriisiin A liittyvien aliavaruuksien kannat ovat läheisessä yhteydessä sen redusoituun riviporrasmuotoon rref(A).

Lause.

Eräs matriisin A sarakeavaruuden R(A) kanta muodostuu niistä matriisin A sarakkeista, joihin syntyy johtavat ykköset redusoidussa riviporrasmuodossa rref(A).

Todistus.

Nolla-avaruuden kanta puolestaan löydetään helposti tutkimalla homogeenisen yhtälön Ax=0 ratkaisua, kuten aiemmassa esimerkissä. Tiivistettynä matriisin A nolla- ja sarakeavaruuksien kannat voidaan löytää seuraavalla algoritmilla.

  1. Etsi matriisin A redusoitu vaakariviporrasmuoto rref(A).
  2. Valitse matriisista A ne sarakkeet, joiden kohdalle matriisissa rref(A) sijoittuu johtava ykkönen. Nämä pystyvektorit muodostavat sarakeavaruuden R(A) kannan.
  3. Etsi matriisin rref(A) avulla homogeenisen yhtälön Ax=0 yleinen ratkaisu ja esitä se vakiovektoreiden lineaarikombinaationa. Huomaa, että rref[A0]=[rref(A)0]. Lineaarikombinaation vektorit muodostavat nolla-avaruuden N(A) kannan.

Esimerkki.

Etsi avaruuksille R(A) ja N(A) kannat, kun A=[124223111133].

Ratkaisu.

Määritelmä.

Matriisin A aste rank(A) on sen redusoidussa riviporrasmuodossa rref(A) esiintyvien johtavien ykkösten lukumäärä.

Seuraava tulos saadaan välittömästi pohtimalla, miten sarakeavaruuden kanta muodostuu.

Seuraus.

Olkoon A matriisi. Tällöin rank(A)=dimR(A).

Matriisin asteella tarkoitetaan siis oikeastaan sen sarakkeiden virittämän aliavaruuden dimensiota, ja redusoitu riviporrasmuoto (Gaussin eliminointi) tarjoaa kätevän keinon sen selvittämiseksi. Matriisin asteen syvällisempään rooliin voi tutustua myöhemmillä opintojaksoilla. Todistetaan kuitenkin erittäin hyödyllinen matriisien dimensiolause.

Lause.

Jos A on m×n-matriisi, niin dimN(A)+rank(A)=n.

Todistus.

Esimerkki.

Olkoon

A=[134462376].

Etsi aliavaruuksien R(A) ja N(A) kannat ja dimensiot. Mikä on matriisin A aste? Osoita, että matriisi A toteuttaa dimensiolauseen.

Ratkaisu.