Määritelmä ja perusominaisuudet¶
Olkoon \(s(t)\) kuljettu matka ajan \(t\) funktiona. Kun nopeudella tarkoitetaan kuljetun matkan muutosta aikayksikössä, keskimääräinen nopeus aikavälillä \((t, t+\Delta t)\) on
Lyhentämällä tarkasteltavan aikavälin pituutta \(\Delta t\) saadaan tarkempi käsitys kuljetun matkan käyttäytymisestä, ja kun \(\Delta t \to 0\) päädytään käsittelemään hetkellistä nopeutta
Näistä kinematiikan käsitteistä voidaan yleistää reaalifunktion \(f\) derivaatan käsite, joka voidaan ymmärtää funktion arvon hetkellisenä muutosnopeutena.
Huomaa että derivaatan määritelmä tässä muodossa sisältää oletuksen, että funktio \(f\) on määritelty pisteen \(a\) jossakin ympäristössä. Oikean- ja vasemmanpuoleisten raja-arvojen luonnehdinnasta havaitaan, että funktio on derivoituva pisteessä \(a\) jos ja vain jos sillä on pisteessä \(a\) sekä oikean- että vasemmanpuoleinen derivaatta ja ne ovat yhtäsuuret. Tällöin \(f'(a)=f'(a-)=f'(a+)\).
Merkintöjä ja nimityksiä¶
Funktion \(f\) derivaattaa merkitään myös
Määritelmässä esiintyvää osamäärää kutsutaan erotusosamääräksi (difference quotient). Asettamalla \(x=a+h\) funktion \(f\) derivaatta pisteessä \(a\) voidaan yhtäpitävästi kirjoittaa myös raja-arvona
Koska pisteiden \((x_1,y_1)\) ja \((x_2,y_2)\) kautta kulkevan suoran kulmakerroin (slope) on
erotusosamäärää ja sen raja-arvoa voidaan havainnollistaa seuraavalla kuvalla.
Geometrisesti erotusosamäärä on \(xy\)-koordinaatiston pisteiden \((a,f(a))\) ja \((x,f(x))\) kautta kulkevan sekantin (secant) kulmakerroin. Sekantti on piiretty kuvaan katkoviivalla. Kun pisteiden \((a,f(a))\) ja \((x,f(x))\) vaakasuuntaista etäisyyttä \(h = x - a\) pienennetään, sekantti lähestyy funktion \(f\) kuvaajan pisteeseen \((a, f(a))\) piirrettyä tangenttia (tangent). Pisteessä \(a\) syntyvän derivaatan geometrinen tulkinta onkin pisteeseen \((a, f(a))\) piirretyn tangentin kulmakerroin.
Funktion \(f\) derivoituvuus pisteessä \(a\) tarkoittaa näin ollen geometrisesti sitä, että kuvaajalla \(y=f(x)\) on pisteessä \((a,f(a))\) yksikäsitteinen tangenttisuora kulmakertoimella \(f'(a)\). Pisteen \((x_1, y_1)\) kautta kulmakertoimella \(k\) kulkevan suoran yhtälö on
joten funktion \(f\) kuvaajalle kohtaan \(a\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö on
Tangenttisuoran yksikäsitteisyys tarkoittaa sitä, että kuvaajalla ei voi olla pisteessä \(a\) terävää kärkeä.
Esimerkki 5.2.2
Lasketaan funktion \(f(x)=3x^2-7x+5\) derivaatta pisteessä \(3\) määritelmän avulla.
kun \(h \to 0\), joten \(f'(3)=11\).
Derivaatan perusominaisuuksia¶
Käydään seuraavaksi läpi, mitä perusominaisuuksia derivaatalla on. Näitä ominaisuuksia hyödynnetään jatkossa runsaasti. Erityisesti derivaatan laskusäännöt sekä yhdistetyn funktion ja käänteisfunktion derivaatan laskeminen ovat tämän osion tärkeimpiä tuloksia. Aloitetaan kuitenkin tuloksesta, joka yhdistää funktion derivoituvuuden ja jatkuvuuden.
Lause 5.2.3
Jos \(f\) on derivoituva pisteessä \(a\), niin \(f\) on jatkuva pisteessä \(a\).
On osoitettava, että \(f(x)\to f(a)\), kun \(x\to a\). Näin on, sillä
kun \(x \to a\). Huomaa, että \(x \not= a\), jolloin luvulla \(x - a\) laventaminen ei tuota ongelmia.
Yhtäpitävä muotoilu lauseelle on seuraava: jos funktio \(f\) ei ole jatkuva pisteessä \(a\), niin se ei ole myöskään derivoituva pisteessä \(a\). Huomaa, että tälle lauseelle käänteinen väite ei kuitenkaan ole voimassa, eli jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi tästä käy itseisarvofunktion \(f(x)=|x|\) käyttäytyminen pisteessä \(x=0\).
Lause 5.2.4
Olkoot \(f\) ja \(g\) pisteessä \(x\) derivoituvia funktioita ja olkoon \(c\) reaaliluku. Tällöin
- \(D(cf(x))=cf'(x)\),
- \(D(f(x)\pm g(x))=f'(x)\pm g'(x)\),
- \(D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) ja
- \(D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\), jos \(g(x)\ne0\).
Kohtaa 1 varten tarkastellaan funktion \(cf\) erotusosamäärää, jolle
kun \(h \to 0\), sillä \(f\) on derivoituva pisteessä \(x\). Kohta 2 todistuu vastaavalla menetelmällä.
Kohdan 3 funktion \(f(x)g(x)\) erotusosamäärän osoittajassa voidaan lisätä ja vähentää termi \(f(x)g(x + h)\), jolloin
kun \(h \to 0\). Tässä \(\lim\limits_{h\to0}g(x+h)=g(x)\), sillä \(g\) on derivoituvana funktiona myös jatkuva pisteessä \(x\).
Kohdan 4 todistamiseksi tutkitaan ensin funktion \(1/g(x)\) erotusosamäärää. Lavennetaan termillä \(g(x+h)g(x)\), missä \(g(x) \not= 0\), jolloin
kun \(h\to0\). On siis osoitettu, että
kun \(g(x) \not= 0\). Nyt kohdasta 3 seuraa
Lause 5.2.5
Vakiofunktion \(f(x)=c\) derivaatta on \(f'(x) = 0\).
Määritelmän mukaan
Edellinen lause perustelee derivointisäännön, jonka mukaan vakion derivaatta on \(0\). Muutosnopeuden kautta ajatellen tulos on järkevä: vakio ei muutu, joten sen muutosnopeus on \(0\). Myös muita yksinkertaisia derivaattoja voidaan laskea derivaatan määritelmän avulla, kuten seuraavassa esimerkissä on tehty.
Esimerkki 5.2.6
Laske \(D\left(x^{-1}\right)\), \(D\left(x\right)\) ja \(D\left(x^2\right)\) määritelmän avulla.
Sovelletaan derivaatan määritelmää.
Laske määritelmän mukaisesti \(D(x^3)\). Kirjoita välivaiheita laatikoihin seuraavien järjestyksessä annettujen ohjeiden mukaan.
- Mikä on funktioon \(x^3\) liittyvä erotusosamäärän lauseke? Tee tässä vaiheessa vain sopivat sijoitukset. Kirjoita vain erotusosamäärä, älä ota siitä raja-arvoa.
- Sievennä edellisessä kohdassa antamasi erotusosamäärän lauseke niin pitkälle kuin mahdollista. Kirjoita välivaiheita eroteltuna yhtäsuuruusmerkillä
=
. - Oleta, että \(h \to 0\) ja kirjoita näin saatava derivaatan lauseke.
Huomaa, että muutamassa kohdassa koko osoittaja tarvitsee kirjoittaa sulkuihin, koska se koostuu useammasta kuin yhdestä yhteenlasketusta termistä. Muista myös käyttää aina kertomerkkejä, eli esimerkiksi kirjoita 2*x
, kun tarkoitat lauseketta \(2x\).
Vastausten tarkastamiseen käytetään erillistä ohjelmistoa, jonka antamia palautteita ei valitettavasti voi helposti räätälöidä tämän tehtävän tarpeisiin. Vastausyritteesi pyyhkiyy pois tarkastuksen aikana, joten saattaisi olla hyvä avata jokin muistio-ohjelma ja leikata vastaus talteen ennen vastausnapin painamista. Olethan vähintään avannut yllä olevan esimerkin 5.2.6 ratkaisut esimerkkipalkin alla olevasta linkistä ja katsonut sieltä jonkinlaista mallia?
Jokaisen vastaantulevan funktion derivointi suoraan määritelmän avulla käy työlääksi, joten käsitellään vielä edellä esitettyjen derivaatan perusominaisuuksien lisäksi muutamia derivointikaavoja laskujen suoraviivaistamiseksi. Yleistetään tämän esimerkin laskujen perusteella potenssifunktion derivointikaava.
Lause 5.2.7
Jos \(n\in\Z\), ja \(x\ne0\), niin \(D(x^n) = nx^{n - 1}\).
Jos \(n = 0\), niin väite on \(D(1) = 0\), joka on tosi vakiofunktion derivointisäännön nojalla. Todistetaan väite positiiville kokonaisluvuille induktiolla.
Alkuaskel. Jos \(n = 1\), niin väite on \(D(x) = 1\), mikä osoitettiin edellä.
Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan \(D(x^k) = kx^{k - 1}\), kun \(k\) on positiivinen kokonaisluku. Pyritään osoittamaan, että \(D(x^{k + 1}) = (k + 1)x^k\). Tulon derivointisäännön nojalla
\[D(x^{k + 1}) = D(x \cdot x^k) = D(x)x^k + xD(x^k) \stackrel{\text{io}}{=} x^k + kx^k = (k + 1)x^k,\]eli induktioväite on tosi.
Induktioperiaatteen nojalla \(D(x^n) = nx^{n - 1}\) aina, kun \(n\) on positiivinen kokonaisluku.
Negatiivisia kokonaislukuja \(n\) varten oletetaan, että \(x \not= 0\) ja merkitään \(m = -n\). Tällöin \(m\) on positiivinen kokonaisluku, ja edellä todistetun sekä osamäärän derivointisäännön nojalla
Polynomi- ja rationaalifunktiot rakentuvat täsmälleen tämän lauseen käsittelemistä potenssifunktioista, jolloin derivaatan laskusääntöjen vuoksi ne ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan.
Esimerkki 5.2.8
Funktion \(f(x) = x^3 - \dfrac{1}{x^5}\) derivaatta on
\[f'(x) = D(x^3 - x^{-5}) = D(x^3) - D(x^{-5}) = 3x^2 - (-5)x^{-6} = 3x^2 + \frac{5}{x^6}.\]Funktion \(f(x) = \dfrac{x^2 + x}{x^3 - 7}\) derivaatta on
\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \frac{D(x^2 + x)(x^3 - 7) - (x^2 + x)D(x^3 - 7)}{(x^3 - 7)^2}\\ &= \frac{(2x + 1)(x^3 - 7) - 3x^2(x^2 + x)}{(x^3 - 7)^2} = \frac{-x^4-2x^3-14x-7}{(x^3-7)^2}. \end{aligned}\end{split}\]
Esimerkki 5.2.9
Mikä on käyrän \(y=x^3-4x^2+7\) pisteeseen \((3,-2)\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö?
Kyseessä on funktion \(y=y(x)\) kuvaaja, joten tangenttisuoran kulmakertoimen antaa derivaatan arvo pisteessä \(3\). Nyt \(y(3) = -2\) ja \(y'(x)=3x^2-8x\), joten \(y'(3)=3\) ja tangenttisuoran yhtälö on
Tilannetta on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.
Oman derivointisääntönsä ansaitsevat myös yhdistetty funktio ja käänteisfunktio.
Lause 5.2.10 (Ketjusääntö)
Olkoon funktio \(g\) derivoituva pisteessä \(x\) ja funktio \(f\) derivoituva pisteessä \(g(x)\). Tällöin yhdistetty funktio \(f \circ g\) on derivoituva pisteessä \(x\) ja
Koska \(g\) on derivoituva pisteessä \(x\), erotusosamäärä
kun \(h \to 0\). Merkitään tässä
jolloin siis \(\varepsilon_g(h) \to 0\), kun \(h \to 0\). Ratkaisemalla nähdään, että
Vastaavasti, koska \(f\) on derivoituva pisteessä \(y = g(x)\), erotusosamäärä
kun \(h \to 0\). Voidaan määritellä rinnakkainen \(\varepsilon_f(k)\), joka toteuttaa ehdot
ja \(\varepsilon_f(k) \to 0\), kun \(k \to 0\).
Tutkitaan nyt yhdistetyn funktion \(f \circ g\) arvoa pisteessä \(x + h\).
missä \(g(x) = y\) ja \(0 \not= g'(x)h + h\varepsilon_g(h) = k\) on reaaliluku. Sijoittamalla nämä nähdään, että
Järjestellään termejä uudelleen ja sijoitetaan \(k = g'(x)h + h\varepsilon_g(h)\), jolloin
Nyt väitteen todistamiseksi riittää osoittaa, että
kun \(h \to 0\). Tämä toteutuu, sillä oletusten nojalla \(\varepsilon_g(h) \to 0\), kun \(h \to 0\), ja luvut \(f'(g(x))\) ja \(g'(x)\) ovat vakioita. Täten
Merkintöjä \(u=f(g(x))\) ja \(y=g(x)\) käyttäen edellinen derivointisääntö voidaan kirjoittaa muotoon
Kyseessä on siis eräänlainen ketju muuttujia, joiden suhteen edellinen funktio derivoidaan, ja lopuksi lasketaan derivaattojen tulo. Usein puhutaankin ketjusäännöstä, ja se on helppo muistaa derivaatan osamäärämerkinnässä. Kolmen funktion yhdistelmälle merkinnöin \(u = f(g(h(x)))\), \(v = g(h(x))\), \(y = h(x)\) ketjusääntö voitaisiin kirjoittaa muodossa
Useammankin funktion yhdistelmän käsitteleminen on luonnollisesti myös mahdollista.
Esimerkki 5.2.11
Derivoi \(h(x)=\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^{11}\).
Tulkitaan \(h\) funktioksi \(h(x)=f(g(x))\), missä \(f(y)=y^{11}\) ja \(g(x)=x^2+\dfrac{1}{x}\). Koska \(f'(y)=11y^{10}\), niin
Tarkastellaan seuraavaksi, miten välillä \(I\) derivoituvan funktion \(f\) käänteisfunktion derivaatta saadaan laskettua. Käänteisfunktio \(f^{-1}\) on ylipäätään olemassa täsmälleen silloin, kun funktio \(f\) on bijektio. Koska derivoituvana funktiona \(f\) on myös jatkuva, pitää sen olla aidosti monotoninen, tai muuten se ei ole bijektio.
Lause 5.2.12 (Käänteisfunktion derivaatta)
Olkoon \(f\) aidosti kasvava (vähenevä) ja derivoituva välillä \(I\). Tällöin käänteisfunktio \(f^{-1} : f(I)\to I\) on derivoituva niissä välin \(f(I)\) pisteissä \(y = f(x)\), joille \(f'(x)\ne0\), ja derivaatta pisteessä \(y = f(x)\) on
Aikaisemmin todistetun nojalla käänteisfunktio \(f^{-1}\) on jatkuva ja \(f(I)\) on todella reaalilukuväli. Tutkitaan käänteisfunktion erotusosamäärää pisteessä \(y_0=f(x_0)\). Merkitään \(y=f(x)\) ja vaaditaan, että \(y\ne y_0\), jolloin myös \(x\ne x_0\).
kun \(y \to y_0\), sillä \(f^{-1}\) on jatkuva ja siten \(x=f^{-1}(y)\to f^{-1}(y_0)=x_0\), kun \(y\to y_0\).
Yllä oleva kuva perustelee vielä käänteisfunktion derivaattaa graafisesti. Käänteisfunktion peilikuvaominaisuudesta johtuen sen derivaatan arvo jossakin pisteessä \(y_0\) voidaan laskea alkuperäisen funktion \(f\) derivaatan avulla. Käänteisfunktion kuvaajan piste \((y_0, f^{-1}(y_0))\) on peilikuva suoran \(y=x\) suhteen funktion \(f\) kuvaajan pisteelle \((x_0, f(x_0))\), jos
Tästä syystä käänteisfunktion derivaatassa derivaatan arvo välin \(f(I)\) pisteessä \(y\) lasketaankin funktion \(f\) derivaatan avulla pisteessä \(x=f^{-1}(y)\). Kuva lisää myös intuitiota siihen, miksi lausekkeessa esiintyy derivaatan \(f'(x)\) käänteisluku.
Muilla merkintätavoilla käänteisfunktion derivoimissääntö voidaan kirjoittaa helposti muistettavaan muotoon
missä \(\d x/\d y\) lasketaan pisteessä \(y=f(x)\) ja \(\d y/\d x\) pisteessä \(x\).
Havainnollistetaan seuraavassa esimerkissä käänteisfunktion derivaatan kaavan käyttöä.
Esimerkki 5.2.13
Olkoon \(y=f(x)=\sqrt[3]{x}\). Laske \(f'(x)\).
Tähän mennessä todistettu potenssifunktion derivointikaava koskee vain kokonaislukupotensseja, joten sitä ei voi soveltaa. Funktion \(f\) käänteisfunktio \(f^{-1}(y) = y^3\) on kuitenkin aidosti kasvava ja derivoituva, ja \(D_yf^{-1}(y) = 3y^2 \not= 0\), kun \(y = f(x) \not= 0\), eli kun \(x \not= 0\). Täten funktio \(f\) on myös derivoituva kaikkialla paitsi pisteessä \(0\), ja
Käänteisfunktion derivointisäännön avulla potenssifunktion derivointikaava voidaan laajentaa kattamaan kaikki rationaaliluvut. Todellisuudessa derivointikaava on voimassa myös silloin, kun eksponenttina on reaaliluku. Tämän todistamiseen tarvitaan kuitenkin tietoa eksponenttifunktion derivaatasta, joten se käsitellään vasta seuraavassa osiossa.
Lause 5.2.14
Jos \(r\in\Q\), \(x \not= 0\) ja potenssilausekkeen \(x^r\) määrittelyehdot ovat voimassa, niin
Tutkitaan ensin funktiota \(y=f(x)=x^{\frac{1}{n}}\), missä \(n\in\N\). Funktiolla \(f\) on aidosti kasvava ja derivoituva käänteisfunktio \(x=f^{-1}(y)=y^n\), jolle \(D_yf^{-1}(y)=ny^{n-1} \not= 0\), kun \(y \not= 0\), eli kun \(x \not= 0\). Täten myös \(f\) on derivoituva ja
Siten lauseen väite on voimassa, kun \(r=\frac{1}{n}\).
Yleisessä tapauksessa kirjoitetaan \(r=\frac{m}{n}\), missä \(n\in\N\). Nyt ketjusäännön mukaan
Esimerkki 5.2.15
- \(\displaystyle D(\sqrt{x})=D(x^{1/2})=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\).
- \(\displaystyle D\left((3x^2-7)^{\frac{3}{2}}\right)=\frac32(3x^2-7)^{1/2}\cdot 6x=9x\sqrt{3x^2-7}\).
Huomautus 5.2.16
Käänteisfunktion derivaattaa tarvitaan erityisesti myös tilanteissa, joissa käänteisfunktion lauseke on hankala tai mahdoton muodostaa. Esimerkiksi funktio \(f(x) = x^3+x\) on bijektio, joten sillä on olemassa käänteisfunktio \(f^{-1}\), mutta tämän lauseke on tarpeettoman monimutkainen derivoitavaksi.
Sen sijaan \(f'(x) = 3x^2+1 \not= 0\) kaikilla \(x\in\R\). Näin ollen käänteisfunktion derivaatan arvo esimerkiksi pisteessä \(y=2\) on
sillä \(2 = 1^3 + 1 = f(1)\).
Toisaalta jos alkuperäisestä funktiosta \(f\) tiedetään vain joitakin arvoja eri mittapisteissä, voidaan käänteisfunktion derivaattaa silti arvioida olettaen, että käänteisfunktio on olemassa. Nimittäin
missä \(y_0=f(x_0)\) ja \(x_n\) on jokin mittapisteen \(x_0\) lähellä oleva mittapiste.