- MATH.APP.440
- 3. Derivaatta ja Cauchy-Riemannin yhtälöt
- 3.2 Derivaatta ja analyyttisyys
Derivaatta ja analyyttisyys¶
Kompleksimuuttujan funktion derivaatta määritellään täsmälleen samalla tavalla kuin yhden muuttujan reaalifunktionkin derivaatta. Tästä seuraa, että sillä on monia yhteisiä ominaisuuksia reaalisen derivaatan kanssa.
Määritelmä 3.2.1
Oletetaan, että A \subseteq \C ja että kompleksiluku z_0 on joukon A kasautumispiste. Funktio f : A \to \C on derivoituva pisteessä z_0, jos raja-arvo
on olemassa. Tällöin sanotaan, että funktiolla f on derivaatta f'(z_0) pisteessä z_0.
Derivaattaa merkitään tuttuun tapaan myös muodossa
ja merkintää \frac{\rd}{\rd z} käytetään derivointioperaattorina. Seuraavat derivoimissäännöt voidaan todistaa kuten reaalifunktioiden vastaavat säännöt, ja ne jätetään siksi käsittelemättä.
Lause 3.2.2 (Derivaatan laskusäännöt)
Olkoot f ja g kompleksimuuttujan funktioita, sekä z ja \beta kompleksilukuja. Jos f ja g ovat derivoituvia pisteessä z, niin
- \frac{\rd}{\rd z}(\beta f(z)) = \beta f'(z),
- \frac{\rd}{\rd z}(f(z)+g(z))=f'(z)+g'(z),
- \frac{\rd}{\rd z}(f(z)g(z))=f'(z)g(z)+f(z)g'(z).
- \frac{\rd}{\rd z}\left(\frac{1}{f(z)}\right)=-\frac{f'(z)}{f^2(z)}, jos f(z) \not= 0.
Jos f on derivoituva pisteessä z ja g derivoituva pisteessä f(z), niin
Lause 3.2.3
Jos n \in \Z, niin funktio f(z) = z^n on kaikkialla derivoituva ja f'(z) = nz^{n - 1}.
Koska kaikki alkeisfunktiot määritellään joko funktion z^n tai \e^z ja peruslaskutoimitusten avulla, kaikki alkeisfunktiot voidaan osoittaa derivoituviksi heti, kun on todistettu eksponenttifunktion derivoimiskaava \frac{\rd}{\rd z}\e^z = \e^z. Tämän todistamista lykätään kuitenkin myöhemmäksi Cauchy-Riemannin yhtälöiden yhteyteen.
Esimerkki 3.2.4
Osoita, että funktio f(x + \im y) = \sqrt{|xy|} ei ole derivoituva origossa.
Funktiolla f ei ole derivaattaa
sillä käyrää z(t) = t + \im t, t \in \R pitkin kuljettaessa
Esimerkki 3.2.5
Funktio f(z)=\overline{z} ei ole missään derivoituva, sillä
ja esimerkissä 3.1.4 todettiin ettei tätä raja-arvoa ole olemassa. Tästä seuraa esimerkiksi, että g(z)=|z|^2 ei ole derivoituva origon ulkopuolella, koska |z|^2=z\overline{z}, eli \overline{z}=\frac{|z|^2}{z}. Sen sijaan voidaan osoittaa, että sen derivaatta on nolla origossa (harjoitustehtävä).
Kompleksisetkin derivoituvat funktiot ovat aina jatkuvia.
Lause 3.2.6 (Derivoituvan funktion jatkuvuus)
Pisteessä z_0 derivoituva funktio on jatkuva pisteessä z_0.
Olkoon f derivoituva pisteessä z ja merkitään
Koska
niin
Täten
eli \lim\limits_{h\to 0} f(z+h)=f(z). Funktion f jatkuvuus pisteessä z seuraa tästä.
Reaalifunktion tapauksessa derivoituvuuden laajennus pisteestä joukkoon tehdään yksinkertaisesti vaatimalla, että funktio on derivoituva jokaisessa joukon pisteessä. Kompleksianalyysissa on kuitenkin hyödyllisempää määritellä vastaava käsite ensin pisteen ympäristössä ja vasta sitten laajemmin. Tämän eron vuoksi sille annetaan myös eri nimi.
Määritelmä 3.2.7
Oletetaan, että A \subseteq \C ja että kompleksiluku z_0 on joukon A sisäpiste. Funktio f : A \to \C on analyyttinen pisteessä z_0, jos se on derivoituva jonkin pisteen z_0 avoimen \delta-ympäristön jokaisessa pisteessä. Jos A on lisäksi alue, niin funktio f on analyyttinen alueessa A, jos se on analyyttinen jokaisessa alueen A pisteessä. Funktio f on kokonainen, jos se on analyyttinen koko kompleksitasossa.
Edellä kuvailtua funktion analyyttisuutta kutsutaan yleisemmin funktion holomorfisuudeksi. Täsmällisemmin funktion analyyttisuus pisteessä z_0 tarkoittaa sitä, että sille löydetään Taylorin sarjakehitelmä jossakin pisteen z_0 ympäristössä. Kompleksimuuttujan funktioille nämä ominaisuudet ovat yhtäpitäviä, joten tässä käytetty terminologia on perusteltua.
Huomautus 3.2.8
Lue edellinen määritelmä uudelleen ja varmista, että ymmärrät sen. Funktion analyyttisuus pisteessä vaatii derivoituvuuden kaikkialla pisteen jossakin avoimessa ympäristössä. Analyyttisuutta ei voi yleistää suoraan pisteestä koko joukkoon A, jos se ei ole avoin. Pohdi miksi näin on.
Alkeisfunktiot ovat analyyttisia määrittelyjoukossaan (kokonaisia, jos määrittelyjoukko on \C). Toisaalta esimerkiksi funktio f(z) = \overline{z} ei ole analyyttinen missään, sillä se ei derivoidu missään.
Esimerkki 3.2.9
Osoitetaan, että funktio f(z) = z^n, missä n on luonnollinen luku, on kokonainen. Lauseen 3.2.3 nojalla f on derivoituva jokaisessa kompleksitason pisteessä, joten jos valitaan piste z_0 ja mielivaltainen \delta > 0, funktio f on derivoituva jokaisessa ympäristön U_{\delta}(z_0) pisteessä. Siten se on analyyttinen mielivaltaisessa pisteessä z_0, eli f on kokonainen funktio.
Funktioiden määritelmien, sekä derivaatan laskusääntöjen nojalla kaikki polynomifunktiot ovat täten kokonaisia, ja kaikki rationaalifunktiot ovat analyyttisia määrittelyjoukossaan.
L’Hôpitalin sääntö
Derivaatan avulla voidaan johtaa laskukaava osamäärän raja-arvolle silloin, kun se tulisi sijoittamalla epämääräiseen muotoon.
Lause 3.2.10 (L’H{^o}pitalin sääntö)
Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteen z_0 ympäristössä, f(z_0)=0=g(z_0) ja g'(z_0)\neq 0, niin
Lauseen oletusten ollessa voimassa nähdään, että
kunhan z \not= z_0 (kuten raja-arvon määritelmässäkin). Kirjoittamalla z = z_0 + h nähdään, että
Koska oletuksen nojalla g'(z_0) \not= 0, raja-arvo
L’Hôpitalin säännölle saadaan tavanomainen laajennus myös tapaukseen
Myöhemmin todetaan, että kaikkialla pisteen z_0 ympäristössä derivoituvilla (pisteessä z_0 analyyttisilla) funktioilla on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteessä z_0 ja että jokin derivaatoista poikkeaa välttämättä nollasta. Tämän vuoksi l’Hôpitalin sääntö voidaan ilmaista myös yleisemmässä muodossa
Tämä esitystapa perustelee sen, miksi l’Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää useammin kuin kerran saman raja-arvon määrittämiseen: osoittajan ja nimittäjän derivointia jatketaan erikseen niin kauan, kunnes nimittäjän jonkin derivaatan raja-arvo eroaa nollasta.
Edellisen huomion myötä l’Hôpitalin säännölle saadaan myös yleistys korkeammille derivaatoille. Jos f^{(k)}(z_0) = 0 = g^{(k)}(z_0) aina, kun 0 \leq k < n, ja g^{(n)} \not= 0, niin
Esimerkki 3.2.11
Raja-arvo
Kompleksimuuttujan funktion derivaatta yksittäisessä pisteessä toimii siis varsin samalla tavalla kuin reaalifunktionkin derivaatta. Derivoituvuuden laajentaminen kokonaisiin kompleksitason joukkoihin johtaa kuitenkin hiukan monisyisempään teoriaan kuin reaalisessa maailmassa. Siihen liittyy muun muassa kompleksimuuttujan funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaattojen vaikutus funktion derivaatan olemassaoloon, sekä lopulta funktion sarjakehitelmä ja sopivan lausekkeen integraali! Osin näistä syistä kompleksianalyysia pidetään eräänä kauneimmista ja eleganteimmista matemaattisista teorioista. Vedetään siis syvään henkeä ja sukelletaan tähän kaninkoloon.