\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Derivaatta ja analyyttisyys

Kompleksimuuttujan funktion derivaatta määritellään täsmälleen samalla tavalla kuin yhden muuttujan reaalifunktionkin derivaatta. Tästä seuraa, että sillä on monia yhteisiä ominaisuuksia reaalisen derivaatan kanssa.

Määritelmä 3.2.1

Oletetaan, että \(A \subseteq \C\) ja että kompleksiluku \(z_0\) on joukon \(A\) kasautumispiste. Funktio \(f : A \to \C\) on derivoituva pisteessä \(z_0\), jos raja-arvo

\[f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\]

on olemassa. Tällöin sanotaan, että funktiolla \(f\) on derivaatta \(f'(z_0)\) pisteessä \(z_0\).

Derivaattaa merkitään tuttuun tapaan myös muodossa

\[f'(z_0) = \frac{\rd f}{\rd z}(z_0),\]

ja merkintää \(\frac{\rd}{\rd z}\) käytetään derivointioperaattorina. Seuraavat derivoimissäännöt voidaan todistaa kuten reaalifunktioiden vastaavat säännöt, ja ne jätetään siksi käsittelemättä.

Lause 3.2.2 (Derivaatan laskusäännöt)

Olkoot \(f\) ja \(g\) kompleksimuuttujan funktioita, sekä \(z\) ja \(\beta\) kompleksilukuja. Jos \(f\) ja \(g\) ovat derivoituvia pisteessä \(z\), niin

1. \(\frac{\rd}{\rd z}(\beta f(z)) = \beta f'(z)\),
2. \(\frac{\rd}{\rd z}(f(z)+g(z))=f'(z)+g'(z)\),
3. \(\frac{\rd}{\rd z}(f(z)g(z))=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)\).
4. \(\frac{\rd}{\rd z}\left(\frac{1}{f(z)}\right)=-\frac{f'(z)}{f^2(z)}\), jos \(f(z) \not= 0\).

Jos \(f\) on derivoituva pisteessä \(z\) ja \(g\) derivoituva pisteessä \(f(z)\), niin

\[\frac{\rd}{\rd z}(g(f(z)))=g'(f(z))f'(z).\]

Lause 3.2.3

Jos \(n \in \Z\), niin funktio \(f(z) = z^n\) on kaikkialla derivoituva ja \(f'(z) = nz^{n - 1}\).

Koska kaikki alkeisfunktiot määritellään joko funktion \(z^n\) tai \(\e^z\) ja peruslaskutoimitusten avulla, kaikki alkeisfunktiot voidaan osoittaa derivoituviksi heti, kun on todistettu eksponenttifunktion derivoimiskaava \(\frac{\rd}{\rd z}\e^z = \e^z\). Tämän todistamista lykätään kuitenkin myöhemmäksi Cauchy-Riemannin yhtälöiden yhteyteen.

Esimerkki 3.2.4

Osoita, että funktio \(f(x + \im y) = \sqrt{|xy|}\) ei ole derivoituva origossa.

Ratkaisu

Funktiolla \(f\) ei ole derivaattaa

\[f'(0) = \lim_{z \to 0}\frac{f(z) - f(0)}{z} = \lim_{z \to 0}\frac{f(z)}{z},\]

sillä käyrää \(z(t) = t + \im t\), \(t \in \R\) pitkin kuljettaessa

\[\lim_{t \to 0^{+}}\frac{\sqrt{|t^2|}}{t + \im t} = \lim_{t \to 0^{+}}\frac{t}{t + \im t} = \frac{1}{1 + \im} \not= -\frac{1}{1 + \im} = \lim_{t \to 0^{-}}\frac{-t}{t + \im t} = \lim_{t \to 0^{-}}\frac{\sqrt{|t^2|}}{t + \im t}.\qedhere\]

Esimerkki 3.2.5

Funktio \(f(z)=\overline{z}\) ei ole missään derivoituva, sillä

\[\lim_{h\to 0}\frac{\overline{z+h}-\overline{z}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\overline{z}+\overline{h}-\overline{z}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\overline{h}}{h},\]

ja esimerkissä 3.1.4 todettiin ettei tätä raja-arvoa ole olemassa. Tästä seuraa esimerkiksi, että \(g(z)=|z|^2\) ei ole derivoituva origon ulkopuolella, koska \(|z|^2=z\overline{z}\), eli \(\overline{z}=\frac{|z|^2}{z}\). Sen sijaan voidaan osoittaa, että sen derivaatta on nolla origossa (harjoitustehtävä).

Kompleksisetkin derivoituvat funktiot ovat aina jatkuvia.

Lause 3.2.6 (Derivoituvan funktion jatkuvuus)

Pisteessä \(z_0\) derivoituva funktio on jatkuva pisteessä \(z_0\).

Todistus

Olkoon \(f\) derivoituva pisteessä \(z\) ja merkitään

\[\epsilon(h)=\frac{f(z+h)-f(z)}{h}-f'(z).\]

Koska

\[\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=f'(z),\]

niin

\[\lim_{h\to 0}\epsilon(h)=\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}-f'(z)=0.\]

Täten

\[f(z+h)-f(z)=h(f'(z)+\epsilon(h))\to 0, \text{ kun } h\to 0,\]

eli \(\lim\limits_{h\to 0} f(z+h)=f(z)\). Funktion \(f\) jatkuvuus pisteessä \(z\) seuraa tästä.

Reaalifunktion tapauksessa derivoituvuuden laajennus pisteestä joukkoon tehdään yksinkertaisesti vaatimalla, että funktio on derivoituva jokaisessa joukon pisteessä. Kompleksianalyysissa on kuitenkin hyödyllisempää määritellä vastaava käsite ensin pisteen ympäristössä ja vasta sitten laajemmin. Tämän eron vuoksi sille annetaan myös eri nimi.

Määritelmä 3.2.7

Oletetaan, että \(A \subseteq \C\) ja että kompleksiluku \(z_0\) on joukon \(A\) sisäpiste. Funktio \(f : A \to \C\) on analyyttinen pisteessä \(z_0\), jos se on derivoituva jonkin pisteen \(z_0\) avoimen \(\delta\)-ympäristön jokaisessa pisteessä. Jos \(A\) on lisäksi alue, niin funktio \(f\) on analyyttinen alueessa \(A\), jos se on analyyttinen jokaisessa alueen \(A\) pisteessä. Funktio \(f\) on kokonainen, jos se on analyyttinen koko kompleksitasossa.

Edellä kuvailtua funktion analyyttisuutta kutsutaan yleisemmin funktion holomorfisuudeksi. Täsmällisemmin funktion analyyttisuus pisteessä \(z_0\) tarkoittaa sitä, että sille löydetään Taylorin sarjakehitelmä jossakin pisteen \(z_0\) ympäristössä. Kompleksimuuttujan funktioille nämä ominaisuudet ovat yhtäpitäviä, joten tässä käytetty terminologia on perusteltua.

Huomautus 3.2.8

Lue edellinen määritelmä uudelleen ja varmista, että ymmärrät sen. Funktion analyyttisuus pisteessä vaatii derivoituvuuden kaikkialla pisteen jossakin avoimessa ympäristössä. Analyyttisuutta ei voi yleistää suoraan pisteestä koko joukkoon \(A\), jos se ei ole avoin. Pohdi miksi näin on.

Alkeisfunktiot ovat analyyttisia määrittelyjoukossaan (kokonaisia, jos määrittelyjoukko on \(\C\)). Toisaalta esimerkiksi funktio \(f(z) = \overline{z}\) ei ole analyyttinen missään, sillä se ei derivoidu missään.

Esimerkki 3.2.9

Osoitetaan, että funktio \(f(z) = z^n\), missä \(n\) on luonnollinen luku, on kokonainen. Lauseen 3.2.3 nojalla \(f\) on derivoituva jokaisessa kompleksitason pisteessä, joten jos valitaan piste \(z_0\) ja mielivaltainen \(\delta > 0\), funktio \(f\) on derivoituva jokaisessa ympäristön \(U_{\delta}(z_0)\) pisteessä. Siten se on analyyttinen mielivaltaisessa pisteessä \(z_0\), eli \(f\) on kokonainen funktio.

Funktioiden määritelmien, sekä derivaatan laskusääntöjen nojalla kaikki polynomifunktiot ovat täten kokonaisia, ja kaikki rationaalifunktiot ovat analyyttisia määrittelyjoukossaan.

L’Hôpitalin sääntö

Derivaatan avulla voidaan johtaa laskukaava osamäärän raja-arvolle silloin, kun se tulisi sijoittamalla epämääräiseen muotoon.

Lause 3.2.10 (L’H{^o}pitalin sääntö)

Jos funktiot \(f\) ja \(g\) ovat derivoituvia pisteen \(z_0\) ympäristössä, \(f(z_0)=0=g(z_0)\) ja \(g'(z_0)\neq 0\), niin

\[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(z_0)}{g'(z_0)}.\]

Todistus

Lauseen oletusten ollessa voimassa nähdään, että

\[\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f(z) - f(z_0)}{g(z) - g(z_0)} = \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\frac{z - z_0}{g(z) - g(z_0)} = \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\frac{1}{\frac{g(z) - g(z_0)}{z - z_0}},\]

kunhan \(z \not= z_0\) (kuten raja-arvon määritelmässäkin). Kirjoittamalla \(z = z_0 + h\) nähdään, että

\[\lim_{z \to z_0}\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = f'(z_0) \qquad\text{ja}\qquad \lim_{z \to z_0}\frac{g(z) - g(z_0)}{z - z_0} = g'(z_0).\]

Koska oletuksen nojalla \(g'(z_0) \not= 0\), raja-arvo

\[\lim_{z \to z_0}\frac{f(z)}{g(z)} = \left(\lim_{z \to z_0}\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\right)\left(\frac{1}{\lim\limits_{z \to z_0}\frac{g(z) - g(z_0)}{z - z_0}}\right) = \frac{f'(z_0)}{g'(z_0)}.\qedhere\]

L’Hôpitalin säännölle saadaan tavanomainen laajennus myös tapaukseen

\[\lim\limits_{z \to z_0}f(z) = \infty = \lim\limits_{z \to z_0}g(z).\]

Myöhemmin todetaan, että kaikkialla pisteen \(z_0\) ympäristössä derivoituvilla (pisteessä \(z_0\) analyyttisilla) funktioilla on kaikkien kertalukujen derivaatat pisteessä \(z_0\) ja että jokin derivaatoista poikkeaa välttämättä nollasta. Tämän vuoksi l’Hôpitalin sääntö voidaan ilmaista myös yleisemmässä muodossa

\[\lim_{z \to z_0}\frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z \to z_0}\frac{f'(z)}{g'(z)}.\]

Tämä esitystapa perustelee sen, miksi l’Hôpitalin sääntöä voidaan käyttää useammin kuin kerran saman raja-arvon määrittämiseen: osoittajan ja nimittäjän derivointia jatketaan erikseen niin kauan, kunnes nimittäjän jonkin derivaatan raja-arvo eroaa nollasta.

Edellisen huomion myötä l’Hôpitalin säännölle saadaan myös yleistys korkeammille derivaatoille. Jos \(f^{(k)}(z_0) = 0 = g^{(k)}(z_0)\) aina, kun \(0 \leq k < n\), ja \(g^{(n)} \not= 0\), niin

\[\lim_{z \to z_0}\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f^{(n)}(z_0)}{g^{(n)}(z_0)}.\]

Esimerkki 3.2.11

Raja-arvo

\[\lim_{z \to 0}\frac{(\e^z - 1)^2}{z\sin(z)} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{z \to 0}\frac{2(\e^z - 1)\e^z}{\sin(z) + z\cos(z)} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{z \to 0}\frac{4\e^{2z} - 2\e^z}{2\cos(z) - z\sin(z)} = 1.\]

Kompleksimuuttujan funktion derivaatta yksittäisessä pisteessä toimii siis varsin samalla tavalla kuin reaalifunktionkin derivaatta. Derivoituvuuden laajentaminen kokonaisiin kompleksitason joukkoihin johtaa kuitenkin hiukan monisyisempään teoriaan kuin reaalisessa maailmassa. Siihen liittyy muun muassa kompleksimuuttujan funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaattojen vaikutus funktion derivaatan olemassaoloon, sekä lopulta funktion sarjakehitelmä ja sopivan lausekkeen integraali! Osin näistä syistä kompleksianalyysia pidetään eräänä kauneimmista ja eleganteimmista matemaattisista teorioista. Vedetään siis syvään henkeä ja sukelletaan tähän kaninkoloon.

Palautusta lähetetään...