$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Cauchyn integraalikaava

Cauchyn integraalikaava on teoreettisesti merkittävä tulos, joka tarjoaa myös helpon tavan laskea integraaleja yli suljetun integroimistien. Se osoittaa, että analyyttisen funktion arvot suljetun tien sisällä määräytyvät sen perusteella mitä arvoja funktio saa suljetulla tiellä. Tämä on erittäin vahva ominaisuus, josta seuraa useita erilaisia teoreettisia tuloksia. Jatkossa käytämme Cauchyn integraalikaavaa esimerkiksi funktioiden sarjakehitelmien johtamiseen.

Lause 4.4.1 (Cauchyn integraalikaava)

Olkoon $f:A\to\C$ analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa $A$. Jos $S \subseteq A$ on paloittain sileä Jordanin käyrä ja $z_0$ piste tien $S$ sisäpuolella, niin

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi\im}\int_S \frac{f(z)}{z-z_0}\,\rd z.$$

Todistus

Deformaatiolauseen nojalla voidaan olettaa, että $S$ on $r$-säteinen $z_0$-keskinen ympyrä. Niinpä lemman 4.1.8 nojalla

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_S \frac{f(z)}{z-z_0}\, \rd z & =\int_S \frac{f(z)-f(z_0)+f(z_0)}{z-z_0}\, \rd z\\ & =\int_S \frac{f(z_0)}{z-z_0}\, \rd z+\int_S \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\, \rd z\\ &=2\pi\im f(z_0)+\int_S \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\, \rd z. \end{aligned}\end{split}$$

Tulos seuraa, jos viimeisen integraali on nolla. Tätä varten ML-lausetta käyttäen arvioidaan, että

$$\begin{aligned} \left| \int_S \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\, \rd z\right| & \leq \max_{|z-z_0|=r} \frac{|f(z)-f(z_0)|}{|z-z_0|}\cdot 2\pi r=\max_{|z-z_0|=r}2\pi|f(z)-f(z_0)|. \end{aligned}$$

Koska $f$ on analyyttisena funktiona jatkuva pisteessä $z_0$, niin

$$\max_{|z-z_0|=r}|f(z)-f(z_0)|\to 0, \qquad\text{kun } r=|z - z_0|\to 0.$$

Deformaatiolauseen nojalla integraalin $\int_S \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,\rd z$ arvo kuitenkaan ei riipu säteestä $r$, joten on oltava $\left|\int_S \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\, \rd z\right|=0$.

Analyyttisen funktion $f$ arvon lisäksi myös sen kaikkien kertalukujen derivaatoille pisteessä $z_0$ saadaan vastaavanlainen laskukaava. Tämä kaava osoittaa, että analyyttinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva.

Lause 4.4.2 (Cauchyn integraalikaava derivaatoille)

Olkoon $f : A \to \C$ analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa $A$ ja olkoon $n$ luonnollinen luku. Jos $S \subseteq A$ on paloittain sileä Jordanin käyrä ja $z_0$ piste tien $S$ sisäpuolella, niin

$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\im}\int_S \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\, \rd z.$$

Todistus

Sivuutetaan, katso esimerkiksi Zill ja Shanahan (2003, 275–276). Todistuksessa käytetään Cauchyn integraalikaavaa ja sen todistuksessa esiintyvien tekniikoiden kaltaisia tarkasteluja.

Seuraus 4.4.3

Pisteessä $z_0$ analyyttisellä funktiolla on Cauchyn integraalikaavan nojalla kaikkien kertalukujen derivaatat pisteen $z_0$ ympäristössä, ja nämä puolestaan ovat analyyttisiä (ja siten jatkuvia) pisteessä $z_0$.

Integraalien laskeminen on erittäin helppoa Cauchyn integraalikaavojen avulla mikäli integrandi on suoraan haluttua muotoa. Aina kuitenkin tarvitaan ymmärrystä siitä, missä funktio on tai ei ole analyyttinen. Seuraavissa kahdessa esimerkissä integroitava funktio kirjoitetaan ensin sellaiseen muotoon, että Cauchyn integraalikaavoja voi käyttää.

Esimerkki 4.4.4

Lasketaan integraali

$$\int_S \frac{z}{z^2+9}\, \rd z,$$

kun $S$ on ympyrä $|z-2\im|=4$. Koska $z^2+9=(z+3\im)(z-3\im)$ niin integrandi on analyyttinen kaikkialla muualla paitsi pisteissä $\pm3\im$. Näistä vain piste $3\im$ on tien $S$ sisällä, joten

$$\frac{z}{z^2+9}=\frac{\frac{z}{z+3\im}}{z-3\im},$$

missä funktio $\frac{z}{z+3\im}$ on analyyttinen integroimistiellä ja sen sisällä. Siis Cauchyn integraalikaavan nojalla

$$\int_S \frac{z}{z^2+9}\, \rd z=\int_S \frac{\frac{z}{z+3\im}}{z-3\im}\, \rd z=2\pi\im\cdot \frac{3\im}{3\im+3\im}=\pi\im.$$

Esimerkki 4.4.5

Olkoon $S$ ympyrä $|z|=1$. Merkitään $f(z)=\frac{z+1}{z+2\im}$, jolloin Cauchyn integraalikaavasta derivaatoille seuraa, että

$$\int_S \frac{z+1}{z^4+2\im z^3}\, \rd z=\int_S \frac{\frac{z+1}{z+2\im}}{z^3}\, \rd z=\frac{2\pi\im}{2!}\cdot f''(0)=\pi\im \frac{2-4\im}{(2\im)^3}=-\frac{\pi}{4}+\im\frac{\pi}{2}.$$

Käydään vielä läpi esimerkki, jossa korostuu funktion analyyttisuuden käsitteen ja esitettyjen integraaliin liittyvien lauseiden tärkeys.

Esimerkki 4.4.6

Laske integraali

$$\int_S \frac{\e^{z^2}}{z^3+(3-\im)z^2-3\im z}\, \rd z,$$

missä $S$ on puoliympyrän $1+2\e^{\im t}$, $t\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$ ja janan $1-2\im\to 1+2\im$ muodostama jatkuva tie.

Ratkaisu

Integroitava funktio $f(z)=\e^{z^2}/(z^3+(3-\im)z^2-3\im z)$ on jälleen kahden kokonaisen funktion osamäärä, ja siten ainoat pisteet joissa se ei ole analyyttinen ovat nimittäjän nollakohdat. Nyt

$$z^3 + (3 - \im)z^2 - 3\im z = z(z^2 + (3 - \im)z - 3\im) = 0$$

täsmälleen silloin, kun $z = 0$ tai

$$z = \frac{-(3 - \im) + \left((3 - \im)^2 - 4 \cdot (-3\im)\right)^{1/2}}{2} = \frac{-(3 - \im) \pm (3 + \im)}{2},$$

eli kun $z = 0$ tai $z = \im$ tai $z = -3$. Kuvaan 4.4.1 on piirretty integroimistie ja pisteet, joissa funktio ei ole analyyttinen. Nähdään, että pisteet $0$ ja $\im$ ovat integroimistien sisällä, mutta piste $-3$ ei ole.

Kuva 4.4.1. Integroimistie $S$, funktion $f$ nimittäjän nollakohdat ja apuintegroimistiet $S_1$ ja $S_2$.

Koska pisteitä, joissa $f$ ei ole analyyttinen on integroimistien sisällä kaksi, Cauchyn integraalikaavan soveltaminen ei onnistu suoraan. Deformaatiolauseen yleistyksen nojalla integraalin arvo on kuitenkin summa $\int_{S_1}f(z)\,\rd z + \int_{S_2}f(z)\,\rd z$, missä $S_1$ ja $S_2$ ovat pienet $0$- ja $\im$-keskiset tien $S$ sisään jäävät sileät integroimistiet (kts. kuva 4.4.1). Nyt Cauchyn integraalikaavaa käyttäen integraaliksi lasketaan

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_S \frac{\e^{z^2}}{z^3+(3-\im)z^2-3\im z}\, \rd z & = \int_{S_1} \frac{\frac{\e^{z^2}}{z^2+(3-\im)z-3\im }}{z}\, \rd z+\int_{S_2} \frac{\frac{\e^{z^2}}{z(z+3)}}{z-\im}\, \rd z\\ & =2\pi\im\cdot \frac{\e^{0^2}}{0^2+(3-\im)0-3\im}+2\pi\im\cdot \frac{\e^{\im^2}}{\im(\im+3)}\\ & = -\frac{2\pi}{3}+\frac{3\pi\e^{-1}}{5}-\frac{\pi\e^{-1}}{5}\im. \end{aligned}\end{split}$$

Palautusta lähetetään...