Matriisin determinantti¶

Ristitulon tarkastelun yhteydessä määriteltiin determinantin käsite virtaviivaistamaan merkintöjä. Vertaamalla siellä esiteltyä \(2 \times 2\)-determinanttia

\[\begin{split}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21},\end{split}\]

sekä \(2 \times 2\)-matriisin \(A\) käänteismatriisin

\[\begin{split}A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\end{split}\]

olemassaolon ehtoa nähdään, että determinantilla voisi olla muitakin sovelluksia. Laajennetaan se siis kattamaan kaikenlaiset neliömatriisit.

Määritelmä.

Olkoon \(A\) \(n \times n\)-neliömatriisi. Jos \(n \geq 2\), niin matriisin \(A\) \((i, j)\)-alimatriisi on se \((n - 1) \times (n - 1)\)-neliömatriisi \(A_{ij}\), joka saadaan poistamalla matriisista \(A\) rivi \(i\) ja sarake \(j\).

Määritelmä.

Olkoon \(A=[a_{ij}]\) \(n \times n\)-neliömatriisi. Matriisin \(A\) determinantti \(\det(A)\) on seuraavalla tavalla määräytyvä skalaari.

Jos \(n = 1\), niin \(\det(A) = a_{11}\).
Jos \(n \geq 2\), niin

\[\det(A) = (-1)^{0}a_{11}\det(A_{11}) + (-1)^1a_{12}\det(A_{12}) + \cdots + (-1)^{n - 1}a_{1n}\det(A_{1n}).\]

Vaihtoehtoisia merkintöjä determinantille ovat \(\det(A) = |A| = \det A\).

Neliömatriisin determinantti lasketaan siis rekursiivisesti, eli palauttamalla se aina vain pienempien matriisien determinanttien laskemiseksi. Perustapauksena pidetään \(1 \times 1\)-matriisia, jonka determinantti on sen ainoan alkion arvo. Muissa tapauksissa determinantti kehitetään ensimmäisen rivin avulla. Esimerkiksi \(2 \times 2\)-matriisille

\[\begin{split}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = (-1)^0a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} \end{vmatrix} + (-1)^1a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} \end{vmatrix} = a_{11}d_{22} - b_{12}c_{21}\end{split}\]

ja \(3 \times 3\)-matriisille

\[\begin{split}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = (-1)^0a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + (-1)^{1}a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + (-1)^{2}a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.\end{split}\]

Esimerkki.

Tutkitaan yksikkömatriisin \(I_n\) determinanttia. Jos \(n = 1\), niin luonnollisesti \(\det(I_n) = 1\). Jos puolestaan \(n \geq 2\), matriisin \(I_n\) ensimmäisen rivin alkiot ovat nollia diagonaalialkiota \(a_{11} = 1\) lukuunottamatta. Sen määräämä \((1, 1)\)-alimatriisi on yksinkertaisesti \(I_{n - 1}\), ja tämän vuoksi

\[\det(I_n) = 1 \cdot \det(I_{n - 1}) = \det(I_{n - 1}).\]

Vastaavasti, jos \(n \geq 3\), niin \(\det(I_{n - 1}) = \det(I_{n - 2})\). Jatkamalla tätä päättelyä \(n - 1\) kertaa saadaan \(\det(I_n) = \det(I_1) = 1\) aina, kun \(n\) on positiivinen kokonaisluku.

Laplacen laajennuslause toteaa, että determinantin voi kehittää ensimmäisen rivin lisäksi minkä tahansa rivin tai sarakkeen avulla. Suoraviivainen todistus sivuutetaan pitkänä ja teknisenä indeksien pyörittelynä.

Lause.

Olkoon \(A = [a_{ij}]\) \(n \times n\)-neliömatriisi. Jos \(n \geq 2\), niin matriisin \(A\) determinantti voidaan kehittää \(i\):nnen vaakarivin avulla muodossa

\[\det(A) = (-1)^{i - 1}a_{i1}\det(A_{i1}) + (-1)^{1 + i - 1}a_{i2}\det(A_{i2}) + \cdots + (-1)^{n - 1 + i - 1}a_{in}\det(A_{in})\]

\(j\):nnen sarakkeen avulla muodossa

\[\det(A) = (-1)^{j - 1}a_{1j}\det(A_{1j}) + (-1)^{1 + j - 1}a_{2j}\det(A_{2j}) + \cdots + (-1)^{n - 1 + j - 1}a_{nj}\det(A_{nj}).\]

Huomaa, että determinanttia kehitettäessä noudatetaan seuraavanlaista merkkikaaviota.

\[\begin{split}\begin{matrix} + & - & + & - & \cdots \\ - & + & - & + & \cdots \\ + & - & + & - & \cdots \\ - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix}\end{split}\]

Kehitettäessä \(i\):nnen rivin tai \(j\):nnen sarakkeen avulla yhteenlaskettavien termien etumerkit valitaan tämän taulukon riviltä \(i\) tai sarakkeesta \(j\).

Esimerkki.

Laske matriisin \(A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 7 & 6\\ 1 & 0 & 0 &3\\ 0 & 2 & 9 & -11\\ 0 & 0 &4 & 9 \end{bmatrix}\) determinantti.

Ratkaisu.

Laskujen yksinkertaistamiseksi determinantti kannattaa kehittää sellaisen rivin tai sarakkeen avulla, jossa on mahdollisimman paljon nollia. Tämän vuoksi valitaan ensimmäinen sarake kehittämiseen, jolloin

\[\begin{split}\det(A)=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 7 & 6\\ 1 & 0 & 0 &3\\ 0 & 2 & 9 & -11\\ 0 & 0 &4 & 9 \end{vmatrix} = -1 \cdot A_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 7 & 6 \\ 2 & 9 & -11 \\ 0 & 4 & 9 \end{vmatrix}.\end{split}\]

Kehitetään tämä \(3 \times 3\)-determinantti jälleen ensimmäisen pystysarakkeen suhteen, jolloin

\[\begin{split}\det(A)=-(-2) \cdot B_{21} = 2 \begin{vmatrix} 7 & 6\\ 4 & 9 \end{vmatrix}=2(7\cdot 9-4\cdot 6)=78.\end{split}\]

Laplacen laajennuslauseen välitön sovellus on neliömatriisin transpoosin determinantin laskeminen.

Lause.

Jos \(A\) on neliömatriisi, niin \(\det(A^T) = \det(A)\).

Todistus.

Jos transpoosin \(A^T\) determinantti kehitetään ensimmäisen rivin avulla, niin tehdään samat laskutoimitukset kuin jos matriisin \(A\) determinantti kehitettäisiin ensimmäisen sarakkeen avulla. Laplacen laajennuslauseen nojalla tällöin näiden kahden determinantin on oltava samat. Kokeile ja hahmottele jollain vapaavalintaisella matriisilla! \(\square\)

Tietynlaisille matriiseille determinantti on helppo laskea.

Määritelmä.

Olkoon \(A = [a_{ij}]\) neliömatriisi. Jos \(a_{ij} = 0\) aina, kun \(i > j\), eli matriisin \(A\) diagonaalin alapuolella on vain nollia, sitä kutsutaan yläkolmiomatriisiksi. Vastaavasti jos \(a_{ij} = 0\) aina, kun \(i < j\), eli matriisin \(A\) diagonaalin yläpuolella on vain nollia, sitä kutsutaan alakolmiomatriisiksi.

Lause.

Jos neliömatriisi \(A = [a_{ij}]\) on \(n \times n\)-ylä- tai alakolmiomatriisi, niin sen determinantti on diagonaalialkioiden tulo

\[\det(A) = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}.\]

Todistus.

Oletetaan ensin, että \(A\) on yläkolmiomatriisi ja kehitetään sen ja jokaisen alimatriisin determinantti ensimmäisen sarakkeen suhteen. Koska tällöin kaikki sarakkeen alkiot ensimmäistä lukuunottamatta ovat varmasti nollia, saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \det(A) &= \det(A^1) = a_{11}\det(A^1_{11}) = a_{11}a_{22}\det(A^2_{11}) \\ &= \cdots = a_{11}a_{22} \cdots a_{(n-1)(n-1)}\det \begin{bmatrix} a_{nn} \end{bmatrix} = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn},\end{aligned}\end{split}\]

missä \(A^{k}\) on järjestyksessä \(k - 1\). alimatriisi edellä kuvatussa prosessissa. Alakolmiomatriisille tulos seuraa tästä ja tiedosta \(\det(A^T) = \det(A)\). \(\square\)

Tarkastellaan seuraavaksi determinantin algebrallisia ominaisuuksia sarakevektoreiden näkökulmasta.

Lause.

Olkoot kaikki mainitut vektorit avaruudessa \(\mathbb R^n\). Seuraavat väitteet ovat voimassa determinantille ja sarakemuunnoksille.

Sarakkeen kertominen vakiolla kertoo myös determinantin samalla vakiolla, eli jos \(k\) on reaaliluku, niin

\[\begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & k\mathbf{v}_j& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix} = k\begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_j& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix}.\]
Summa yhdessä sarakkeessa muuntuu determinanttien summaksi, eli

\[\begin{aligned} \begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_j+\mathbf{v}'_j& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_j & \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}'_j& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix}. \end{aligned}\]
Sarakkeiden vaihto vaihtaa determinantin etumerkin, eli

\[\begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_i &\cdots &\mathbf{v}_j& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_j &\cdots &\mathbf{v}_i& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix}.\]

Todistus.

Kaikki kohdat todistuvat suoraviivaisilla laskuilla. Harjoitustehtäväksi jätetään kokeilla kutakin kohtaa \(3 \times 3\)-matriiseilla. \(\square\)

Huomautus.

Erityisesti havaitaan, että mikäli neliömatriisissa \(A\) on kaksi vakiokertojaa vaille samaa saraketta, on oltava \(\det(A)=0\). Ne voidaan nimittäin skaalata ensin samoiksi (determinantti kertoutuu nollasta eroavalla vakiolla) ja sen jälkeen vaihtaa keskenään, jolloin

\[k\det(A) = -k\det(A).\]

Tämä toteutuu selvästi vain, jos \(\det(A) = 0\). Vastaavasti, jos matriisissa on nollasarake, determinantti on nolla.

Koska aiemmin osoitettiin, että \(\det(A)=\det(A^T)\), edellinen tulos voidaan muotoilla myös vaakarivivektoreille.

Seuraus.

Olkoon \(A\) neliömatriisi. Tällöin seuraavat väitteet ovat voimassa.

Jos matriisissa \(A\) on nollarivi tai -sarake, niin \(\det(A)=0\).
Jos matriisi \(B\) saadaan matriisista \(A\) vaihtamalla kahden rivin tai sarakkeen paikkoja, niin \(\det(B)=-\det(A)\).
Jos matriisissa \(A\) on kaksi samaa riviä tai saraketta, niin \(\det(A)=0\).
Jos matriisi \(B\) saadaan matriisista \(A\) kertomalla yksi matriisin \(A\) rivi tai sarake skalaarilla \(k\), niin \(\det(B)=k\det(A)\).
Jos matriisin \(C\) yksi rivi tai sarake on matriisien \(A\) ja \(B\) vastaavien rivien tai sarakkeiden summa ja muuten kaikki matriisit ovat samoja, niin \(\det(C)=\det(A)+\det(B)\).
Jos matriisi \(B\) saadaan matrisiista \(A\) lisäämällä yksi vakiolla kerrottu matriisin \(A\) rivi tai sarake toiseen matriisin \(A\) riviin tai sarakkeeseen, niin \(\det(B)=\det(A)\).

Matriisitulon ja determinantin välille löydetään miellyttävä yhteys, ja sen johtamisen sivutuotteena myös tärkeä ehto neliömatriisin kääntyvyydelle.

Lemma.

Olkoon \(B\) neliömatriisi ja \(E\) samankokoinen alkeismatriisi. Tällöin

\[\det(EB) = \det(E)\det(B).\]

Todistus.

Perustuu aikaisempaan lauseeseen. Tarkastellaan kaikkia kolmea rivimuunnosta ja niitä vastaavia alkeismatriiseja. Matriisin \(E\) muodostussääntö on sama kuin sen vaikutus matriisiin \(B\) tulossa \(EB\).

Rivin skaalaus. Tällöin \(E = E_i(k)\) ja \(\det(E) = k\det(I_n) = k\), joten

\[\det(EB) = k\det(B) = \det(E)\det(B).\]
Rivien vaihto. Tällöin \(E = E_{ij}\) ja \(\det(E) = -\det(I_n) = -1\), joten

\[\det(EB) = -\det(B) = \det(E)\det(B).\]
Skaalatun rivin lisäys. Tällöin \(E = E_{ij}(k)\) ja \(\det(E) = \det(I_n) = 1\), joten

\[\det(EB) = \det(B) = \det(E)\det(B).\]

Haluttu tulos toteutuu jokaisessa kohdassa. \(\square\)

Lemman välitön tulkinta on, että kääntyvän matriisin determinantin on poikettava nollasta.

Lause.

Neliömatriisi \(A\) on kääntyvä täsmälleen silloin, kun \(\det(A) \neq 0\).

Todistus.

Olkoon \(A\) \(n \times n\)-neliömatriisi ja \(R = \operatorname{rref}(A)\). Tällöin löydetään sellaiset alkeismatriisit \(E_1, E_2, \ldots, E_k\), että \(R = E_k \cdots E_2E_1A\). Soveltamalla edellistä lemmaa yhteensä \(k\) kertaa nähdään, että

\[\det(R) = \det(E_k) \cdots \det(E_2)\det(E_1)\det(A).\]

Minkään alkeismatriisin determinantti ei ole nolla, joten \(\det(A) = 0\) täsmälleen silloin, kun \(\det(R) = 0\). Todistetaan nyt väite kahdessa osassa.

Jos \(A\) on kääntyvä, niin kääntyvien matriisien peruslauseen nojalla \(R = I_n\), ja näin \(\det(R) = 1 \not= 0\). Siis \(\det(A) \not= 0\).
Jos \(\det(A) \not= 0\), niin myös \(\det(R) \not= 0\). Matriisin \(A\) redusoitu riviporrasmuoto ei siis voi sisältää nollariviä, ja koska kyseessä on neliömatriisi, jokaiselle riville osuu johtava ykkönen. Siis \(R = I_n\), ja kääntyvien matriisien peruslauseen nojalla \(A\) on kääntyvä.

\(\square\)

Nyt lemma voidaan yleistää koskemaan kaikkien neliömatriisien tulon determinanttia.

Lause.

Olkoot \(A\) ja \(B\) samankokoisia neliömatriiseja. Tällöin

\[\det(AB)= \det(A)\det(B).\]

Todistus.

Jaetaan todistus tapauksiin, joissa matriisi \(A\) on singulaarinen tai kääntyvä. Jos \(A\) ei ole kääntyvä, myöskään matriisi \(AB\) ei ole kääntyvä, ja tällöin

\[\det(AB) = 0 = 0 \cdot \det(B) = \det(A)\det(B).\]

Jos \(A\) on kääntyvä, se voidaan kääntyvien matriisien peruslauseen nojalla esittää alkeismatriisien tulona

\[A=E_1E_2 \cdots E_k.\]

Tällöin

\[AB=E_1E_2 \cdots E_kB,\]

joten soveltamalla edellistä lemmaa yhteensä \(k\) kertaa saadaan

\[\det(AB)=\det(E_1)\det(E_2)\cdots \det(E_k)\det(B)=\det(E_1E_2\cdots E_k)\det(B)=\det(A)\det(B).\]

Molemmissa tapauksissa saatiin haluttu tulos. \(\square\)

Seuraus.

Jos \(A\) on kääntyvä matriisi, niin \(\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}\).

Todistus.

Edellisen lauseen nojalla \(1 = \det(I_n) = \det(A^{-1}A) = \det(A^{-1})\det(A)\). \(\square\)

Seuraus.

Jos \(Q\) on ortogonaalinen matriisi, niin \(\det(Q) = \pm 1\).

Todistus.

Jätetään harjoitustehtäväksi. \(\square\)

Esimerkki.

Jos \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 4\), niin mitä on \(\begin{vmatrix} 3a & 2c & -b \\ 3d & 2f & -e \\ 3g & 2i & -h \end{vmatrix}\)?

Ratkaisu.

Tutkitaan, minkälaisia operaatioita alkuperäiselle matriisille on tehty, jotta päästään kysyttyyn esitykseen. Ensimmäinen sarake on kerrottu luvulla \(3\) (1), toinen luvulla \(-1\) (2) ja kolmas luvulla \(2\) (3), ja lopuksi on vaihdettu toisen ja kolmannen sarakkeen paikkaa (4). Hyödynnetään aikaisempaa lausetta jokaisen operaation kohdalla, jotta nähdään, miten determinantin arvo määräytyy.

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3a & 2c & -b \\ 3d & 2f & -e \\ 3g & 2i & -h \end{vmatrix} &\stackrel{\text{(4)}}{=} - \begin{vmatrix} 3a & -b & 2c \\ 3d & -e & 2f \\ 3g & -h & 2i \end{vmatrix} \stackrel{\text{(3)}}{=} -2 \begin{vmatrix} 3a & -b & c \\ 3d & -e & f \\ 3g & -h & i \end{vmatrix} \stackrel{\text{(2)}}{=} 2 \begin{vmatrix} 3a & b & c \\ 3d & e & f \\ 3g & h & i \end{vmatrix} \stackrel{\text(1)}{=} 6 \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \\ &= 6 \cdot 4 = 24.\end{aligned}\end{split}\]