Muutosnopeutta ja linearisointia¶

Tässä osiossa perehdytään derivaatan käsitteeseen kahdesta näkökulmasta.

1. Mikä on funktion $f(x)$ hetkellinen kasvunopeus pisteessä $x=a$? Kasvunopeudella voi tilanteesta riippuen olla jokin fysikaalinen tulkinta. Lisäksi kasvunopeuden merkin perusteella voidaan päätellä, missä $f$ kasvaa ja missä vähenee. Sovelluksena tästä kulkutarkastelusta saadaan keino selvittää funktion pienin ja suurin arvo.
2. Mikä on funktion $f(x)$ kuvaajan $y=f(x)$ pisteeseen $(a,f(a))$ piirretyn tangenttisuoran yhtälö? Tämä yhtälö on muotoa $T(x)=Ax+B$, ja sen avulla voidaan arvoida yksinkertaisella tavalla monimutkaista funktiota $f(x)$ lähellä pistettä $a$.

Tavoitteena on oppia derivoimaan alkeisfunktioista muodostettuja funktioita ja tehdä niille kulku-, ääriarvo- ja approksimaatiotarkasteluja. Lisäksi tutustutaan pienimmän neliösumman menetelmään yhtälöryhmän ratkaisun arvioimiseksi.

Tärppejä tähän osioon:

• Derivaatan määritelmä ja erotusosamäärä
• Derivointisäännöt vakiolla kertomiselle, summalle, tulolle ja osamäärälle, ketjusääntö, sekä käänteisfunktion derivointi
• Alkeisfunktioiden derivointikaavat
• Lineaarinen approksimaatio ja funktion kuvaajan tangenttisuora
• Funktion ääriarvojen ja kulun tutkiminen, kriittiset pisteet, sekä lokaalien ääriarvojen etsiminen
• l’Hôpital’n sääntö
• Pienimmän neliösumman ratkaisu yhtälöryhmälle, normaaliryhmän ratkaiseminen ja polynomin sovittaminen pisteistöön