Alkeisfunktioiden derivaatat¶

Tutkitaan nyt tuttujen alkeisfunktioiden derivointia lähtien liikkeelle eksponenttifunktiosta.

Lause.

\(D(e^x)=e^x\).

Todistus.

Tutkitaan ensin pisteen \(x = 0\) erotusosamäärää

\[\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=\frac{e^h-1}{h},\]

kun \(0<h<1\). Valitaan sellainen luonnollinen luku \(n\), joka toteuttaa epäyhtälöt

\[\frac{1}{n+1}<h\le\frac{1}{n},\]

jolloin eksponenttifunktion kasvavuuden nojalla

\[e^{1/(n + 1)} < e^{h} \leq e^{1/n}.\]

Neperin luku \(e\) toteuttaa epäyhtälöt

\[\left(1 + \frac{1}{k}\right)^{k} < e\qquad\text{ja}\qquad \left(1 - \frac{1}{k}\right)^{k} < \frac{1}{e}\]

jokaisella luonnollisella luvulla \(k\), joten erityisesti

\[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}<e\qquad\text{ja}\qquad \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} < \frac{1}{e},\]

ja näistä voidaan edelleen ratkaista epäyhtälöt

\[\frac{1}{n + 1} < e^{1/(n + 1)} - 1\qquad\text{ja}\qquad e^{1/n} - 1 < \frac{1}{n - 1}.\]

Vertaamalla aiempaan epäyhtälöön nähdään, että

\[\frac{1}{n+1}<e^{1/(n+1)}-1<e^h-1\le e^{1/n}-1<\frac{1}{n-1},\]

ja siten edelleen

\[\frac{n}{n+1}<\frac{e^h-1}{h}<\frac{n+1}{n-1}.\]

Kun \(h\to0+\), niin luvun \(n\) valinnan perusteella \(n\to\infty\). Samalla erotusosamäärää rajaavat lausekkeet lähestyvät lukua \(1\), joten kuristusperiaatteen nojalla

\[\lim_{h\to0+}\frac{e^h-1}{h}=1.\]

Vastaavasti perustellen myös erotusosamäärän vasemmanpuoleinen raja-arvo on \(1\) ja täten

\[\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1.\]

Erotusosamäärä pisteessä \(x\) toteuttaa nyt halutun ehdon, sillä

\[\frac{e^{x+h}-e^x}{h} =\frac{e^xe^h-e^x}{h} =e^x\left(\frac{e^h-1}{h}\right)\to e^x\cdot1=e^x,\]

kun \(h \to 0\). \(\square\)

Esimerkki.

\(D\big(e^{3x^2}\big)=e^{3x^2}D\left(3x^2\right)=6xe^{3x^2}\).
\(\displaystyle D\left(\sqrt{1+e^{2x}}\right)=\frac{D(1+e^{2x})}{2\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{2e^{2x}}{2\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}\)

Lause.

\(D(\ln x)=\dfrac{1}{x}\).

Todistus.

Funktion \(f(x)=\ln x\) käänteisfunktio on \(f^{-1}(y)=e^y\), joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan

\[D_x(\ln x)=\frac{1}{D_y(e^y)}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}.\]

\(\square\)

Lause.

\(D\left(a^x\right)=a^x\ln a\) ja \(D\left(\log_ax\right)=\dfrac{1}{x\ln a}\).

Todistus.

Kun \(a > 0\) ja \(a \not= 1\), eksponentti- ja logaritmifunktioiden kannanvaihtokaavojen avulla saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} D\left(a^x\right)&=D\left(e^{x\ln a}\right)=e^{x\ln a}D(x\ln a)=a^x\ln a \\ D\left(\log_ax\right)&=D\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)=\frac{D(\ln x)}{\ln a}=\frac{1}{x\ln a}.\end{aligned}\end{split}\]

\(\square\)

Esimerkki.

\(D(3^{x^2})=3^{x^2}\ln 3D(x^2)=2x3^{x^2}\ln 3\)
\(D\ln\left(\sqrt{1+x^2}\right)=\dfrac{D\left(\sqrt{1+x^2}\right)}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{D(1+x^2)}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{1+x^2}\)
\(D(\ln(\ln x))=\dfrac{D(\ln x)}{\ln x}=\dfrac{1}{x\ln x}\)

Lause.

\(D\left(x^a\right)=ax^{a-1}\), kun \(a \in \mathbb R\) ja \(x > 0\).

Todistus.

Yleisen potenssifunktion määritelmän mukaan

\[D\left(x^a\right)=D\left(e^{a\ln x}\right)=e^{a\ln x}D(a\ln x)=x^a\left(\frac{a}{x}\right)=ax^{a-1}.\]

\(\square\)

Esimerkki.

\(D\left(e^{x^e}\right)=e^{x^e}D(x^e)=ex^{e-1}e^{x^e}\)

Lause.

Trigonometriset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan ja

\[\begin{split}\begin{aligned} D(\sin x)&=\cos x\\ D(\cos x)&=-\sin x\\ D(\tan x)&=1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}.\end{aligned}\end{split}\]

Todistus.

Kirjoitetaan erotusosamäärä sinille ja käytetään sinin summakaavaa, tulosta

\[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\]

ja siihen liittyvän esimerkin tulosta. Tällöin

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} &=\frac{\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}\\ &=-\sin x\left(\frac{1-\cos h}{h}\right)+\cos x\left(\frac{\sin h}{h}\right)\\ &\to-\sin x\cdot0+\cos x\cdot1=\cos x,\end{aligned}\end{split}\]

kun \(h \to 0\). Ennen kosinin derivointikaavan johtamista kirjoitetaan palautuskaavan mukaisesti \(\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\) ja \(\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\), jolloin ketjusäännön nojalla

\[D(\cos x) = D\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)D\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\sin x.\]

Tangentin derivointikaava saadaan osamäärän derivoimissäännöllä. Määritelmään nojaten

\[D(\tan x)=D\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x},\]

missä viimeinen vaihe voidaan sieventää myös

\[\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2=1+\tan^2x.\]

\(\square\)

Lause.

Arkusfunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.

\[\begin{split}\begin{aligned} D(\arcsin x)&=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} && (-1<x<1)\\ D(\arccos x)&=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} && (-1<x<1)\\ D(\arctan x)&=\dfrac{1}{1+x^2} && (x\in\mathbb R)\end{aligned}\end{split}\]

Todistus.

Funktiolla \(y=\sin x\) on välillä \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) käänteisfunktio \(x=\arcsin y\). Välillä \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\), joka kuvautuu sinifunktiossa joukolle \((-1,1)\), on \(D\sin x=\cos x\ne0\), joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan

\[D_y(\arcsin y)=\frac{1}{D_x(\sin x)}=\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2x}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}.\]

Tässä toiseksi viimeinen vaihe seuraa kaavasta \(\sin^2x+\cos^2x=1\), kun havaitaan että \(\cos x>0\), kun \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). Vastaavalla tavoin voidaan päätellä derivoimiskaavat arkuskosinille ja arkustangentille. \(\square\)

Lause.

Hyperboliset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan, ja

\[\begin{split}\begin{aligned} D(\sinh x) &= \cosh x \\ D(\cosh x) &= \sinh x \\ D(\tanh x) &= \frac{1}{\cosh^2 x}.\end{aligned}\end{split}\]

Todistus.

Väite seuraa suoraan hyperbolisten funktioiden määritelmistä. Esimerkiksi hyperbolisen kosinin derivaatta

\[D(\cosh x) = D\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) = \frac{D(e^x) + D(e^{-x})}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x.\]

\(\square\)

Lause.

Areafunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.

\[\begin{split}\begin{aligned} D(\operatorname{ar\,sinh}x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} && (x \in \mathbb R) \\ D(\operatorname{ar\,cosh}x) &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} && (x > 1) \\ D(\operatorname{ar\,tanh}x) &= \frac{1}{1 - x^2} && (-1 < x < 1)\end{aligned}\end{split}\]

Todistus.

Väite seuraa suoraan derivoimalla areafunktioille kehitetyt kaavat. Esimerkiksi areakosinin derivaatta

\[D(\operatorname{ar\,cosh}x)=D\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right) = \frac{D\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}},\]

kun \(x > 1\). \(\square\)

Derivoimissäännöistä ja derivointikaavoista on yhteenveto liitetaulukossa.