Sarjateoria¶

Tässä osiossa tutkitaan sarjoja eli summia, joissa on äärettömän monta termiä. Niiden avulla voidaan esimerkiksi approksimoida alkeisfunktioita laskimilla, jotka pohjimmiltaan pystyvät vain yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuun. Vaikkapa sinifunktio voidaan esittää sarjana, ja käytännön laskuissa tämän esityksen alusta otetaan niin monta termiä, että saadun approksimaation kaikki desimaalit ovat oikein.

Sarjoja käyttäen voidaan myös esimerkiksi integroida hankalia funktioita (kuten \(e^{x^2}\)), ratkaista differentiaaliyhtälöitä tai muodostaa erilaisia malleja fysiikassa.

Tärppejä tähän osioon:

• Lukujonon raja-arvo ja sen laskusäännöt, sekä kuristusperiaate
• Monotonisten jonojen peruslause
• Sarjan määritelmä ja suppeneminen
• Geometrinen sarja, positiivitermiset sarjat ja :math:`p-sarjat <maar-harmoninensarja>`
• Integraalitesti, vertailuperiaate ja suhdetesti
• Vuorottelevat sarjat ja Leibnizin testi.
• Potenssisarjojen suppenemissäde ja suppenemisväli sekä näiden määrittäminen.
• Taylorin sarja ja kaava, sarjakehitelmien johtaminen sijoittamalla, derivoimalla ja integroimalla
• Polynomiapproksimaatio ja sen sovellukset.